Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применения этих теорем по сра

МОУ  «Лицей №3»

 

 

 

 

 

 

Тема реферата:

Применение  теорем Чевы и Менелая для решения  планиметрических задач. Сравнительный  анализ в эффективности применения этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач.

 

 

 

 

 

Выполнил: Димитров Денис Валерьевич,

ученик  11«А» класса.

 

Научный руководитель: Шабунина Е.И.,

учитель математики МОУ «Лицей №3».

 

Коды авторов: №SC-4785 и №SC-4786.

                                   

             

       

                                              г. Саров, 2011 год.

Оглавление.

 

Введение. 3

Основная часть. 4

Глава I. Теоремы Чевы и Менелая. 4

Глава II. Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применение этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач. 5

         I блок задач (замечательные точки треугольника). 5

         II блок задач (пропорциональные отрезки). 11

         III блок задач (отношение площадей). 16

Заключение. 23

Список используемой литературы. 23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

В курсе  геометрии седьмых, восьмых и  девятых классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс.

Из школьного  курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике, о том, что биссектрисы (медианы, высоты) треугольника пересекаются в одной точке. А ведь эти свойства являются следствиями из теорем Чевы и Менелая.

Теорема Менелая красива и проста. В  школьном курсе эта теорема затерялась где-то среди задач. Между тем  она входит в золотой фонд древнегреческой  математики. Эта теорема дошла  до нас в арабском переводе книги  «Сферика» Менелая Александрийского.

Теоремы Чевы и Менелая в школьном курсе математики изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Между тем, эти теоремы позволяют легко и изящно решить целый класс задач. Многие задачи по планиметрии, предлагаемые на вступительных экзаменах в вузы, в заочные математические школы можно решить с помощью именно этих теорем.

Цель работы  – изучить теоремы Чевы и Менелая и рассмотреть применение этих теорем к решению планиметрических задач.

Задачей работы стало сравнение и выявление эффективности применения теорем Чевы и Менелая по сравнению с другими способами решения планиметрических задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основная часть.

Глава I. Теоремы Чевы и Менелая [4].

Теорема Чевы. Если через вершины проведены прямые , , , пересекающие противоположные стороны (или их продолжения) в точках , , , то для того чтобы эти прямые пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (см. рис.1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Менелая. Если на сторонах или на их продолжениях отмечены точки , , так, что лежит на , – на и – на , то эти точки будут лежать на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено условие (см.рис.2):

 

 

 

 

 

Доказательства соотношений (*) и (**), а также исторические справки о Джованни Чева и Менелае Александрийском содержатся в Приложении1

Глава II. Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применение этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач [2], [5].

 

Теоремы Чевы и Менелая в школьном курсе математики изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Между тем, эти теоремы позволяют легко и изящно решить целый класс задач. Многие задачи по планиметрии, предлагаемые на вступительных экзаменах в вузы, в заочные математические школы можно решить с помощью именно этих теорем.

На примере  следующих задач (задач на замечательные точки треугольника, на пропорциональные отрезки и на отношение площадей) покажем эффективность применения теорем Чевы и Менелая по сравнению с другими способами решения планиметрических задач.

I блок задач (замечательные точки треугольника).

Задача 1.

Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Дано: , – биссектрисы .

Доказать, что биссектрисы и пересекаются в одной точке – точке .

Решение.

I способ (без использования теоремы Чевы)

1. Докажем сначала теорему о биссектрисе угла.

ТЕОРЕМА.

Каждая  точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

 

 

 

 

1. Дано: , – биссектриса , – произвольная точка на биссектрисе , .

Доказать, что .

Доказательство.

1. Сделаем дополнительное построение: проведём перпендикуляры и к лучам и соответственно (рис. 13).
2. Рассмотрим прямоугольные и (, так как и ).

 – общая гипотенуза;

, так как по условию  – биссектриса .

Следовательно, прямоугольные  по гипотенузе и острому углу.

Значит, как соответственные элементы в равных треугольниках, то есть .

Доказано.

 

2. Дано: , т. лежит во внутренней области , , , , , .

Доказать, что – биссектриса .

Доказательство.

Рассмотрим  прямоугольные и (, так как и ).

 – общая гипотенуза;

, так как по условию  .

Следовательно, прямоугольные  по гипотенузе и катету.

Значит, как соответственные элементы в равных треугольниках, и – биссектриса по определению биссектрисы угла.

Доказано.

 

2. Итак, теперь докажем следствие из этой теоремы, то есть то, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Рассмотрим произвольный . Обозначим точкой точку пересечения его биссектрис и . Биссектрисы и пересекаются, так как .

Сделаем дополнительные построения: проведём , , (рис. 14).

2. По доказанной теореме и ( и – биссектрисы ). Поэтому , то есть точка равноудалена от сторон и, значит, лежит на биссектрисе этого угла.

Следовательно, все три биссектрисы  – – пересекаются в точке .

Доказано.

 

II способ (с использованием теоремы Чевы).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону этого треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Так как по условию  – биссектриса , то:

 

Так как по условию  – биссектриса , то:

 

Так как по условию  – биссектриса , то:

 

2. Перемножая получившиеся равенства (3), (1) и (2), получаем, что:

 

Отсюда  по теореме Чевы, биссектрисы  пересекаются в одной точке – точке .

Доказано.

 

Задача 2.

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

 

Дано: , – медианы .

Доказать, что:

1. медианы и пересекаются в одной точке – точке ;
2. .

Решение.

I способ (без использования теорем Чевы и Менелая).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Рассмотрим произвольный . Обозначим точкой точку пересечения его медиан и . Медианы и пересекаются, так как .

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис. 16).

Так как  и – медианы , то точки и являются серединами сторон и соответственно, то есть , .

Отсюда, по определению средней линии  треугольника (средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон) отрезок  является средней линией .

Так как  средняя линия треугольника параллельна  одной из его сторон и равна  половине этой стороны, то отрезок  и .

2. Рассмотрим и .

 как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по доказанному) секущей ;

 как накрест лежащие  углы, образованные при пересечении  параллельных прямых  и ( по доказанному) секущей .

Следовательно, по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны.

Итак, – коэффициент подобия:

 

Но по доказанному ; , поэтому и , . Таким образом, точка пересечения медиан и делит каждую из них в отношении , считая от вершины.

3. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан и делит каждую из них в отношении , считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой .

Итак, все три медианы  пересекаются в точке и делятся ею в отношении , считая от вершины.

Доказано

 

II способ (с использованием теорем Чевы и Менелая).

 

 

 

 

 

 

 

1. Так как по условию  – медианы , то , , , поэтому:

 

Итак,

 

Отсюда по теореме Чевы, медианы  пересекаются в одной точке – точке .

2. Рассмотрим .

Прямая  пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( – луч, ), значит, по теореме Менелая:

 

И, значит,

 

3. Рассматривая теорему Менелая для  и секущей , а также для и секущей , мы получим, что:

 

Итак, все три медианы  пересекаются в точке и делятся ею в отношении , считая от вершины.

Доказано.

II блок задач (пропорциональные отрезки).

Задача 3.

В на стороне взята точка так, что . На продолжении стороны за точку взята точка так, что . Прямая пересекает сторону в точке . Найти отношение .

 

Дано: , , , – луч, , , .

Найти отношение .

Решение.

I способ (без использования теоремы Менелая).

 

 

 

 

 

 

 

 

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис. 18).

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию (): .

1. Рассмотрим и . 

 – общий угол для и ;

 как соответственные  углы, образованные при пересечении  параллельных прямых  и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

 

И, значит, 

 

2. Рассмотрим и . 

 как вертикальные углы;

 как накрест лежащие  углы, образованные при пересечении  параллельных прямых  и ( по дополнительному построению) секущей , , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

 

Но, так как  по доказанному:

 

то мы получаем, что:

 

 

Ответ:  .

II способ (c использованием теоремы Менелая).

 

 

 

 

 

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию (): .

Прямая  пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( – луч, ), значит, по теореме Менелая:

 

И, значит,

 

Ответ:  .

 

Задача 4.

На стороне  взята точка , а на стороне взята точка , причём . Точка пересечения отрезков и делит в отношении , считая от точки . Найти отношение .

Дано: , , , , , .

Найти отношение .

Решение.

I способ (без использования теоремы Менелая).

 

 

 

 

 

 

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис. 20).

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию ( ): .

1. Рассмотрим и .