Курс лекций "Теория вероятностей"

ВВЕДЕНИЕ.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ – математическая дисциплина, родственная таким дисциплинам как математика, …., в каждой дисциплине мы должны, заботится о трех сторонах теории: 1) формального логического содержания; 2) интуитивного представления; 3) … приложения.

В настоящее  время теория вероятности применяется  во многих далеких друг от друга  областях науки и общая теория должна быть гибкой, чтобы разработать  различные средства подхода к  множеству разнообразных проблем.

История показывает, что первоначально теория вероятности  развивалась для описания ограниченного  круга опытов, связанных с различными играми. И основные усилия этой теории были направлены на вычисления теории вероятности. При этом следует иметь в виду, что не от искания численных значений вероятностей является целью общей теории, целью теории вероятности является раскрытие общих законов и зависимостей, а также построение абстрактных моделей, которые могут удовлетворительной степени открывать физические явления.

Статистический  или эмпирический (опытный) подход к  вероятности был развит главным  образом английским математиком  Фишером и немецким математиком  Мизесом. Также большой вклад внес русский математик Колмагоров в 20-х гг. 20-го столетия. 

ТЕМА 1: «СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ»

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ИСПЫТАНИЕ – осуществление некоторого комплекса условий или действий, который может быть воспроизведен неограниченное количество раз.

Результатами  испытаний являются ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СОБЫТИЯ (ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИСХОДЫ).

Некоторые события называют СЛУЧАЙНЫМИ по отношению к некоторому комплексу условий, если его осуществление может произойти или не произойти.

А вот к  НЕСЛУЧАЙНЫМ событиям относятся достоверное или невозможное событие.

ДОСТОВЕРНОЕ СОБЫТИЕ – событие, которое обязательно происходит при каждом испытании.

НЕВОЗМОЖНОЕ СОБЫТИЕ – событие, которое не может произойти ни при одном испытании.

Говорят, что  событие А благоприятствует событию В (влечет за собой), если с наступлением события а наступит событие В. 

А и В называются НЕСОВМЕСТНЫМИ, если наступление одного из них исключает наступление другого. В противном случае события называются СОВМЕСТНЫМИ.

Элементарные  события называются ЕДИНСТВЕННОВОЗМОЖНЫМИ, если в результате испытания наступит одно и только одно из этих событий.

Элементарные  события А₁, А₂, А₃, … , А_n образуют полную группу событий, если они представляют совокупность единственновозможных несовместных событий.

Например, есть события А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, которые соответствуют выпадению 1, 2, 3, 4, 5, 6 при подбрасывании кубика.

Событие называется ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ событию А, если оно заключается в ненаступлении события А. 

  образуют полную  группу событий. 

2. КЛАССИЧЕСКОЕ  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ – количественная мера возможности его наступления.

В классической модели вероятность любого события А  - есть отношение числа благоприятных исходов (М), к общему количеству исходов (N). 

ОСНОВНЫЕ  СВОЙСТВА

1. Вероятность достоверного события равна единице.

 

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

 

3. Вероятность случайного события находится в пределах.

 

Задача 1

А – выпадение  кубика, четное число.

Найти вероятность  этого события.

Решение:

А – искомое событие

M=3

N=6 

Задача 2

В ящике 10 шаров  с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер этого шара не превышает 10?

Решение:

А – искомое событие

M=10

N=10 

Задача 3

В ящике  имеется 3 – белых шара, 4 – черных, 7 – красных.  Какова вероятность  того, что :

1. Вынули синий шар;
2. Вынули белый шар;
3. Вынули черный шар;
4. Вынули красный шар.

Решение:

А – искомое событие

N=14

 

Задача 4

В лотерее 2000 билетов. На 1 билет выпадает 100 рублей, на 4 – по 50 рублей, на 10 – по 20 рублей, на 20 – по 10 рублей, на 165 – по 5 рублей, на 400 – по 1 рублю. Какова вероятность того, что по билету можно выиграть не меньше 10 рублей? 

Решение:

А – искомое событие

M=35=1+4+10+20

N=2000 

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ  КОМБИНАТОРИКИ.

Применение классической формулы часто вызывает