Шпаргалка по "Физике"

1. Напряженность  эл.поля

Эл.поле – особое состояние  пространства. Создается зарядом  и определяется по действию на заряд. Основная х-ка эл.поля – напряженность (количественная силовая х-ка действия эл.поля на заряженные частицы и  тела)

Напряженность эл.поля в данной его точке равна отношению силы F, действующей со стороны поля на точечный пробный электрич заряд, помещенный в рассматриваемую точку поля, к величине q₀ этого пробного заряда   Ē=F /q₀ . Исследуем с помощью точечного пробного заряда  q₀ поле неподвижного точечного заряда q . в точке положение которой задается радиус вектором r, на пробный заряд q₀  будет действовать сила F=kq₀(q/r³)ŕ. =>  E= k(q/r³)ŕ.

Принцип суперпозиций: напряженность, создаваемая полем системы равна  сумме полей заряда.

 

 

2. Потенциал. Связь между напряженностью и потенциалом.

Пусть заряд q₀ перемещается из точки А, находящейся на расстоянии r от заряда q , в точку B, находящуюся на довольно большом расстоянии  r₂ от заряда q. Для определения работы по перемещению заряда из А в В разобьем это перемещение на бесконечно малые переменные  dŚ. На каждой из этих перемещений элементарная работа определяется формулой  dA=k(qq₀/r²)dr.

Полная работа от точки А до точки  В выразится суммой всех таких  элементарных работ, т.е. интегралом взятых пределом от r₁ до r₂  

A = ∫k(qq₀/r²)dr = kqq₀∫dr/r². В результате интегрирования мы получим  A = kqq₀(1/r₁–1/r₂) или A = kq₀(q/r₁–q/r₂), если ввести обозначение q/r= φ, то уравнение для работы запишется в виде  A = kq₀(φ ₁- φ ₂) 

dA = F · dŚ =F·dS=q₀E∆S 

A = q₀E(φ–(φ+∆φ))  

=> q₀E∆S=q₀E(φ–(φ+∆φ))  

E=–k(∆φ/∆S)

Перейдя к пределу  ∆S→0 мы получим формулу, связывающую  напряженность электрич поля и потенциал  Ē=– k(∆φ/∆S)  Производная стоящая в правой части уравнения показывает быстроту изменения потенциала в данном направлении, но  напряженность электрич поля величина векторная, поэтому связь между напряженностью электр поля и потенциала выражается с помощью понятия градиента потенциала. Градиентом любой скалярной величины φ наз-ся вектор, направление которого совпадает с направлением быстрейшего увеличения величины φ. В нашем случае Ē=–gradφ

 

3. Теорема о  циркуляции вектора Е

На электрический заряд q со стороны поля, созданного зарядом Q, действует кулоновская сила. Поэтому при перемещении заряда q в поле совершается работа, величина которой определяется выражением dA = F_ldlcosa, где a - угол между направ лениями силы и перемещения. Учитывая, что Fcosa = F_l имеем dA = F_ldl. Для нашего случая F=qE; qE=  dlcosa =dR, и малая работа в поле равна

dA= , A= =

Из полученной форулы следует, что работа по перемещению  заряда в поле не зависит от формы  пути, т.е. электростатические силы являются потенциальными. Следовательно, заряд в поле обладает потенциальной энергией. Работа при изменении расстояния от R₁ до R₂ равна = .

Из независимости работы от формы пути перемещения следует, что работа электро-статических  сил по замкнутому пути равна нулю. В этом случае в первом интеграле величину заряда q, вынесенную за знак интегрирования, можно сократить. Тогда .

В этой формуле интеграл с кружком обозначает так называемую циркуляцию, т.е. он обоз-начает, что  интегрировапние проводится по замкнутому контуру.

 

 

4. Теорема Гаусса  для Е

Рассмотрим точечный положительный электрический заряд q , находящийся внутри произвольной замкнутой поверхности S. Поток вектора индукции через элемент поверхности dS равен

Составляющую dSD=dScosa элемента поверхности dS в направлении вектора индукции D рассматриваем как элемент сферической поверхности радиуса r, в центре которой расположен заряд q.

Учитывая, что dS*D/r2 равен элементарному  телесному углу dw , под которым  из точки нахождения заряда q виден элемент поверхности dS, преобразуем выражение к виду dF*D = q*dw/4Пи, откуда после интегрирования по всему окружающему заряд пространству, т.е. в пределах телесного угла от 0 до 4Пи, получим

F*D=q.

Формулировка теоремы  Гаусса: поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен суммарному заряду в объеме, охваченном этой поверхностью, и не зависит от зарядов, расположенных вне рассматриваемой поверхности

Теорему Гаусса можно записать и для потока вектора напряженности электрического поля:

 

 

5. Диполь. Поле  диполя.

Диполь есть система двух точечных электрических зарядов равных по размеру и противоположных по знаку, расстояние l между которыми значительно меньше расстояния r от центра диполя до точек наблюдения.

Вектор l проведенный от отрицательного заряда диполя к его положительному заряду, называется плечом диполя.

Произведение заряда |Q| диполя на его плечо l называется электрическим моментом диполя:

p=|Q|l.

Напряженность поля диполя:

где р - электрический момент диполя; r - модуль радиуса-вектора, проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля в которой нас интересует; α - угол между радиусом-вектором r и плечом l диполя.

Потенциал поля диполя:

 

 

6. Диполь в  электрическом поле

Механический  момент, действующий на диполь с электрическим моментом р, помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью

Е, M=[pE], или M=pE sin α, где α - угол между направлениями векторов р и Е.

В неоднородном электрическом  поле кроме механического момента (пары сил) на диполь действует еще некоторая сила. В случае поля, обладающего симметрией относительно оси х, сила выражается соотношением

где - частная производная напряженности поля, характеризующая степень неоднородности поля в направлении оси х.

При сила F_х положительна. Это значит, что под действием ее диполь втягивается в область сильного поля.

 

7. Поляризация  диэлектриков

Диэлектриками называют вещества, в которых отсутствуют свободные носители зарядов. Диэлектрики бывают двух видов: полярные и неполярные. Полярный диэлектрик – диэлектрик, у молекул которого центры положительных и отрицательных зарядов смещены относительно друг друга. Неполярный диэлектрик – диэлектрик, у молекул которого вследствие их симметрии центры положительных и отрицательных зарядов совпадают.  

Неполярные молекулы ведут себя как упругие диполи: P­­E, P=be₀E; b ¾ поляризуемость молекулы, n₀ ¾ концентрация молекул => дипольный момент молекул в объёме:

P = be₀En₀DV

P = (be₀En₀DV)/DV= n₀be₀E ;

n₀b=À ¾ диэлектрическая восприимчивость

P=Àe₀E;

 

8. Вектор индукции  электрического поля D

В диэлектриках кроме  внешнего поля существует еще и собственное (внутреннее) поле, поэтому Е_полн=Е_своб+Е_пол. Однако, принцип суперпозиции в общем случае здесь не пригоден, т.к. он справедлив лишь для определенно заданного распределения зарядов, поэтому каждое из слагаемых должно быть определено из каких-то других соображений.

Рассмотрим замкнутую поверхность, внутри которой есть свободные Q^с и поляризационные Q_п заряды. Тогда теорема Гаусса принимает следующий вид: Заменяя величину Q_п согласно теореме о поляризационных зарядах, можно найти:                                   

Домножим обе части последнего уравнения на e₀ и перенесем интеграл из правой части в левую. Получаем, что                         

Выражение, стоящее в круглых скобках под знаком интеграла, представляет собой новый вектор D=e₀E+P, называемый вектором электрического смещения или вектором электрической индукции. Его можно представить так:                                     

где (1+k) = e называют относительной диэлектрической проницаемостью вещества.                  Тогда D = ee₀E.

 

 

 

 

9. Условия на  границе двух диэлектриков

    

     

 

 

10. Теорема  Гаусса для D

Рассмотрим замкнутую  поверхность, внутри которой есть свободные Q^с и поляризационные Q_п заряды. Тогда теорема Гаусса принимает следующий вид: Заменяя величину Q_п согласно теореме о поляризационных зарядах, можно найти:                                   

Домножим обе части последнего уравнения на e₀ и перенесем интеграл из правой части в левую. Получаем, что                         

Выражение, стоящее в круглых  скобках под знаком интеграла, представляет собой вектор электрической индукции. Его можно представить так: 

где (1+k) = e называют относительной диэлектрической проницаемостью вещества.                  Тогда D = ee₀E.

   => теорема Гаусса для вектора электрического смещения такова  

 

 

 

 

 

11. Уравнение непрерывности

I = dq/dt

Плотность тока: j=I/S,

I=ò(j,dS)

I ¾ величина алгебраическая, знак I определяется направлением вектора нормали: dS=dSn ;

Согласно закону сохранения зарядов:

 

(Ñ,j)=-dr/dt ¾ уравнение непрерывности. Оно выражает закон сохранения заряда.

Если I=const => или (Ñ,j)=0 ¾ условие стационарности.

 

12. Электрическая  ёмкость. Конденсаторы.

j уединённого проводника пропорционален его заряду (j~q) => q/j не зависит от q и для каждого проводника имеет своё значение

C=q/j ¾ электроёмкость

;

=> C=4pe₀R

Система проводников большой ёмкости ¾ конденсатор.

Простейший конденсатор ¾ 2 обкладки, расстояние между которыми мало.

C=q/(j₁-j₂)=q/U;

1)Плоский конденсатор: E=s/e₀; s=q/S; U=E×d=(qd)/(ss) => C=Se₀/d

2)Сферический конденсатор: E=q/(4pe₀r²);

3)Цилиндрический конденсатор:

Если пренебречь рассеянием поля вблизи краев обкладок, получим такую формулу для ёмкости:

, R₁, R₂ ¾ радиусы внутр и внешней обкладок.

 

13. Энергия  электрического поля

Потенциальную энергию взаимодействия  двух точечных зарядов q1 и q2, находящихся в вакууме на расстоянии r12 друг от друга:

Энергия взаимодействия системы, состоящей из N точечных зарядов, равна сумме энергий взаимодействия зарядов взятых попарно:

 

 

Полная электростатическая энергия системы зарядов всегда положительная. Это легко показать на примере заряженного проводника. Рассматривая заряженный проводник как систему точечных зарядов и учитывая одинаковое значение потенциала в любой точке проводника:

 

14. Магнитное  поле. Закон Био-Саварра Лапласа.

Магнитное поле в любой  точке можно охарактеризовать вектором В, который называется вектором магнитной индукции или магнитной индукцией в точке. Магнитная индукция В - это векторная физическая величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля в точке.

Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная  сумма  (суперпозиция)  полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока.

dB = k’*I/r³ [dl*r] – Закон Био-Саварра-Лапласа

k’= μ₀/4π – магнитная постоянная.

 

15. Сила Ампера. Сила Лоренца

Индукцию магнитного поля можно определить и по силе, действующей на проводник с током в магнитном поле.

На проводник  с током, помещенный в магнитное  поле, действует сила Ампера, величина которой определяется следующим выражением:

dF = I[dl, B]

где I - сила тока в проводнике, l - длина проводника, В - модуль вектора магнитной индукции, а - угол между вектором и направлением тока.

Направление силы Ампера можно определить по правилу  левой руки.

Сила Лоренца –  сила, действующая на движущийся в магнитном поле заряд q со скоростью V.

F_эл=qE

F_м=q[J,B]

F_л=q[J,B] + qE -  в случае одновременного действия электр. и магнитн. полей.

F_л=q[J,B] – в случае действия только магнитн. поля.

 

16. Контур с током в  магнитном поле.

Пусть прямоугольная рамка, обтекаемая током I, помещена в однородное магнитное поле индукции В. Рассмотрим силы, действующие относительно оси, проходящей через центр рамки и вычислим их моменты.

F = ∫I[dl, B] = 0

dM=dF * x = IdSB, x – плечо пары сил                                                      

M=∫dM=∫IdSB=ISB

, где р_м=IS - магнитный момент рамки.  

 

Этот момент стремится повернуть  рамку к положению устойчивого  равновесия, при котором магнитный  момент рамки направлен вдоль направления поля.

 

17.Теорема Гаусса  для вектора В.

Магнитный поток — поток Ф_б вектора магнитной индукции B через конечную поверхность S определяется как интеграл по поверхности

В соответствии с теоремой Гаусса для магнитной индукции поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

Или, в дифференциальной форме - divB=0

Это означает, что в классической электродинамике невозможно существование магнитных зарядов, которые создавали бы магнитное поле, подобно тому, как электрические заряды создают электрическое поле.

 

18. Теорема  о циркуляции вектора B

Пусть имеется тонкий бесконечный провод, по которому проходит ток силой I. Выберем мысленно окружность радиуса R, концентрическую заданному току и лежащую в плоскости, перпендикулярной ему. Рассмотрим  сумму произведений проекций вектора магнитной индукции на соответствующий элемент длины окружности радиуса R.  

C_B = Во всех точках контура вектора В направлены по касательной к окружности, а значения В постоянны и равны

 В = μ₀I/2R, так что его можно вынести за знак интеграла. Тогда = 2pR и циркуляция