Возведение многочлена в n –ую степень

    Закон построения ясен: в каждой клетке стоит  сумма числа, стоящего непосредственно  сверху, и числа, стоящего сверху слева. Например:

                                          56 = 21 + 35…

    (Отдельно  приходится оговорить, что в  нулевом столбце и по диагонали стоят единицы.)

    Обозначив через Cmⁿ  число, стоящее в таблице на пересечении n-го столбца и n-строки, можно записать правило заполнения таблицы в виде формулы:

                  С   =  С   +   С       

    Особо надо задать числа нулевой строки

С   = 1, при n = 0

    .  

    Наша  таблица (без заполнения клеток, где  все равно стоят нули) называется треугольником Паскаля 
 
 
 
 

                                                Исторические сведения

о формулах бинома Ньютона

Слово «бином» ( от латинского  «bis» - дважды и греческого «номос» - член) означает «двучлен», формула

( a + b)ⁿ = aⁿ + naⁿ־¹b + Cn²aⁿ־²b²+…+Cnªaⁿ־ªbª +…+ nabⁿ־¹ + bⁿ

Формула представляет разложение не бинома, а целой положительной степени n бинома. В отношении же названия «бином Ньютона» мы знаем, что для натурального n  эта формула была известна задолго до Ньютона многим ученым разных времен и стран, в том числе ал-Караджи (5 в.), ат-Туси и ал-Каши, Тарталье, Ферма, Паскалю. Строгое доказательство формулы для натурального n было дано в 1713 г. опять-таки не Ньютоном, а Якобом Бернулли.

В чем же заслуга  Ньютона, имя которого носит эта  формула? В том, что он распространил  ее на любое действительное n, т. е. он показал, что формула верна и тогда, когда n является рациональным или иррациональным, положительным или отрицательным числом. В настоящее время употребление дробных, отрицательных и иррациональных показателей кажется каждому старшекласснику несложным делом, однако в 17 веке Ньютон был первым человеком в мире, начавшим систематически употреблять в алгебре показатели, отличные от целых положительных. Скромное на первый взгляд дело – распространение этой формулы на действительные показатели – имело огромное значение для развития математики. Пока показателю n придаются лишь натуральные значения, формула имеет конечное число членов, а именно n+1. Однако для отрицательного или дробного показателя число её становится бесконечным. Так, например, можно убедиться в том, что при n= -1 или n=1/3, положив для простоты  a=1, имеем соответственно:

(1 + b)־¹ = 1 – b + b² - b³ +…,

(1 + b)º·³ = 1 + b/3–  b²/8+ b³/16 -… .

Полученные выражения  уже не являются многочленами. Это  бесконечные ряды. Именно теория рядов, тесно связанная с другими  раздела математического анализа и с приложениями последнего к решению многочисленных задач естествознания и техники, стала, начиная со времен Ньютона, одним из важнейших орудий математических исследований. Дальнейшие исследования формулы бинома связаны с именем Эйлера и других ученых 18 и 19 вв.

  Формула Бинома для ненатуральных степеней

                        ∞     

(x + y)^r = ∑   ( r)   x^k y^rk 

Для ненатуральных  степеней формула, где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательными или вещественными). Коэффициенты находятся по формуле: (x + y)^r = ∑   ( r)   x^k y^rk 

Для ненатуральных  степеней формула, где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательными или вещественными). Коэффициенты находятся по формуле: 

 R        1     k-1                      r (r - 1)( r- 2)…(r - (k - 1))    

     =    ─    ∏  (r - n) = ----------------------------------

 k        k!    n=0                               k! 

В частности,

(1 +z)ª = 1 + a z  + a(a – 1) / 2 *z² +…+  a(a – 1)…(a –n +1)/ n! *zⁿ +… 
 
 

Этот степенной ряд сходится при |z| ≤ 1

Если в этой формуле положить  z = 1/m ,и a = x·m 

(1 + 1/m) = 1 + x + xm (xm – 1) / 2m² +…+ xm(xm – 1)…(xm – n + 1)/ n! mⁿ + 

Вводя обозначение  e = lim(1 + 1/m)  - один из замечательных пределов.

                                        m→∞

Переходя к  пределу m→∞, получим формулу: 

                              E^x = 1 + x + x²/2 +…+ xⁿ/n!  
 

Впервые получил  её таким образом Леонард Эйлер. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение:

    При изучении материала по этой теме, я  узнала очень много нового.

Главное, я узнала, что при возведении многочлена в степень можно применить различные                       приемы возведения многочлена в п-ую степень - это  использование формул сокращенного умножения, формулы  бинома Ньютона, а также сведения из истории математики о возведении многочлена в п –ую степень, практическое применение этих сведений. Я считаю, что те знания, которые я приобрела, готовя эту  работу, пригодятся мне в дальнейшей учебе. Мне понравилось заниматься исследовательской работой 
 
 
 
 
 
 

           Список используемой литературы

1. Авдеев В. И. Алгебра 6-8 класс. Библиотека учителя математики.
2. Виноградов И. М. математическая энциклопедия. Том 3.
3. Гусев В. А. Математика. Справочные материалы.
4. Глейзер Г. И. История математики в школе.
5. Никольский С. М. Алгебра и начала анализа10класс
6. Большая советская энциклопедия. 8 том
7. Фадеев Д.К. Алгебра 6-8 класс. Библиотека учителя математики.

Также в работе были использованы некоторые русскоязычные  сайты Интернета.