Синтез і аналіз багаточастотних сплайн-фільтрів

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ  
 

Кафедра радіоелектроніки 
  
  

 
  
 

Реферат

на тему: „Синтез і аналіз багаточастотних сплайн-фільтрів”

 
  
  
  

     Виконав:

        Головко В.О. 
  
  
   
  
 
 
 
 
 

Київ 2011

ЗМІСТ 

Перелік умовних позначень  і скорочень 

Вступ

     Протягом  останніх двох десятиліть, багаточастотні банки фільтрів знайшли застосування в багатьох різних областях, таких як кодування мови, адаптивна обробка сигналів, стиснення зображень, обробка сигналів та зображень (Malvar, 1992; Vaidyanathan, 1993; Vetterli amd Kovaevi 1995; Fliege, 1994; Misiti, Misiti, Oppenheim, and Poggi, 1996). Основна ідея використання багаточастотних банків фільтрів полягає в здатності системи виділити в частотній області сигнал при поділі на два або більше сигналів або скласти два або більше різних сигналів в один сигнал[3].

     Багатошвидкісна обробка сигналів (multirate processing) припускає, що в процесі лінійного перетворення цифрових сигналів можлива зміна  частоти дискретизації в бік зменшення або збільшення і, як наслідок, необхідної швидкості обробки. Це призводить до більш ефективної обробки сигналів, оскільки відкривається можливість значного зменшення необхідної обчислювальної продуктивності проектованої цифрової системи. В останні роки в області багатошвидкісної обробки сигналів досягнуто великого успіху. Багатошвидкісна фільтрація та особливості її застосування стали предметом досліджень численних наукових праць. З'явилися десятки монографій і навчальних посібників, так чи інакше пов'язаних з науковими та практичними досягненнями в цій галузі. Абсолютно унікальні можливості дає використання багатошвидкісної обробки в системах адаптивної і нелінійної фільтрації, стиску, аналізу та відновлення мови, звуку та зображень[11]. 

     1.1. Основні поняття 

     Фільтр (від англ. - «Filter») - лінійна стаціонарна  система, тобто  властивості фільтра  не залежать від часу. Незалежність властивостей фільтра від часу означає, що затримка входу призводить до такої ж затримки виходу. До основних характеристик фільтрів відносяться: імпульсна характеристика.

     Банк  фільтрів (від англ. - «Filter Banks») −  цифровий пристрій, в якому вхідний  сигнал, представлений послідовністю  відліків, за допомогою М різних цифрових фільтрів розбивається на М різних канальних сигналів (для обробки деяким способом кожного з них), з яких за допомогою вихідних фільтрів і наступного підсумовування утворюється послідовність відліків вихідного сигналу.

     Основну ідею побудови системи аналізу/синтезу сигналів з використанням банку фільтрів розкриває рис. 1.1.

     Рис. 1.1. Система аналізу / синтезу сигналів на основі банка фільтрів 

     Вихідний  сигнал розбивається за допомогою фільтрів аналізу) Hk(z), k=0,1...,M-1 на M субполосних складові, які в ідеальному випадку в частотній області не перекриваються. Підібравши відповідним чином набір фільтрів синтезу Fk(z), k=0,1 ...,M-1, можна відновити вихідний сигнал з його субполосних компонент. Внаслідок обмеження ширини спектра сигналів на виході БФ можна зменшити частоту дискретизації субполосних сигналів пропорційно зменшенню ширини спектра. Для пониження частоти дискретизації на стадії аналізу і подальшого підвищення на стадії синтезу використовуються відповідно компресори та експандери частоти дискретизації. У випадку, коли коефіцієнт проріджування в кожному каналі дорівнює відношенню ширини спектра субполосного сигналу до ширини спектра вихідного або

     говорять  про систему аналізу / синтезу з повною децимацією. Таким чином, виходить M сигналів, що відображають поведінку вихідного сигналу в кожному частотному піддіапазоні, які представлені в сумі тією ж кількістю відліків, що й вихідний сигнал. Кожен субполосний сигнал окремо може бути ефективно оброблений по деякому алгоритму b_k, k=0,1 ...,M-1.

     Традиційно  БФ поділяють на банки з рівнополосними і нерівнополосними каналами, ортогональні, біортогональні, двоканальні та багатоканальні і т.д. Кожен фільтр банку цифрових фільтрів утворює канал. Тому говорять про M-канальний банк фільтрів. Сигнал в каналі називається субполосою, звідси назва субполосна фільтрація або субполосне кодування.

     Рівнополосна декомпозиція має на увазі однаковий коефіцієнт децимації і однакову сумарну ширину смуги пропускання кожного каналу. В цей клас цифрових БФ входять також банки з багатокомпонентними фільтрами (що мають більше однієї смуги пропускання). У випадку  нарівнополосних каналів коефіцієнти децимації різні і в загальному випадку можуть бути виражені у вигляді раціонального числа

     У зв'язку з тим, що неможливо побудувати фільтр з ідеальною прямокутною АЧХ, доводиться миритися з наявністю у смугового фільтра перехідної зони і нерівномірністю в смузі пропускання. Ця обставина в поєднанні з ефектом «згортання» частот, що виникають при децимації, може призвести до значних спотворень при відновленні сигналу. Однак існують методики розрахунку БФ, які дозволяють повністю (БФ з повним відновленням) або майже повністю, тобто з будь-якою наперед заданою точністю, відновити вихідний сигнал.

     Дециматор (компресор частоти дискретизації) − пристрій, здійснює децимації (проріджування) сигналу в часі. Децимація (від англ. - «Decimation») − операція, що полягає у виключенні (пропуск) відліків вхідного сигналу, з порядковим номером, кратним коефіцієнту децимації. Децимації в M раз позначається зазвичай як (↓M): y(n)= (↓M)x(n) = x(nM). В частотній області це запишеться як

     

     тобто спектр вихідного сигналу операції децимації містить M копій «розширеного» в M раз спектра вхідного сигналу, як це показано на рис. 1.2.

     Рис. 1.2. Децимація сигналу в M раз.

     Як  видно з рис. 1.2, якщо сигнал не обмежений  смугою частот , то відбувається накладення спектрів копій, тобто елайзінг (від англ. - «Aliasing»). Тому в банку фільтрів перед децимацією виконується НЧ-фільтрація. Сукупність фільтру і дециматора називається фільтром- дециматором.

     Інтерполятор  − пристрій, що виконує дії, зворотні децимації. Інтерполяція (від англ. - «Interpolation») - операція, полягає у  вбудовуванні (додаванні) між відліками, чий порядковий номер кратний певному числу, деякої константи (зазвичай нуля). Інтерполяція в M раз зазвичай позначається як (↑M):

     

     В частотної області це запишеться як  , тобто спектр вихідного сигналу операції інтерполяції містить M копій «стисненого» в M раз спектру вхідного сигналу. Ці копії повторюються через .

     Для їх усунення після інтерполятора  ставиться НЧ-фільтр. Сукупність інтерполятора і фільтра називається фільтром-інтерполятором.

     Еквівалентні  схеми включення інтерполяторів і дециматорів. Дві «чудові» тотожності (від англ. - «Noble Identity») - дозволяють зменшити число обчислень в банку фільтрів. Це обумовлено тим, що частота дискретизації вхідного сигналу знижується за допомогою дециматора, а потім здійснюється процес фільтрації, таким чином загальна обчислювальна складність зменшується пропорційно коефіцієнту децимації. Після закінчення обробки субполосного сигналу в кожному каналі банку фільтрів частота дискретизації підвищується за допомогою інтерполятора. Дані рівності (еквівалентні схеми включення) широко застосовуються для виведення різних співвідношень і представлені на рис. 1.3.

     Рис. 1.3. Еквівалентні схеми включення фільтрів-дециматорів і фільтрів-інтерполяторов.

     Приведення  коефіцієнтів децимації.

     Якщо  банк фільтрів має нерівні коефіцієнти децимації (m_k не рівні як на рис. 1.1), він може бути трансформований в банк фільтрів з рівними коефіцієнтами децимації (усі m_k рівні) як описано нижче.

     Нехай N=lcm(m0,m1,…mM-1). Канал з коефіцієнтом децимації / інтерполяції m_k зображений на рис. 1.4. Наведемо систему з ланцюжком затримок з коефіцієнтом передискретизаціі N/m_k між стороною аналізу та синтезу, як показано на рис. 1.5.

     Рис. 1.4. К-й канал банка фільтрів

     Рис. 1.5. К-й канал з ланцюжком затримок

     Обидві  системи, представлені на рис. 1.4 і рис. 1.5 ідентичні, так як система з ланцюжком затримок володіє перфективною реконструкцією і має нульову затримку. Перестановка затримок в представленій системі до mk-дециматора і після mk-інтерполятора призводить до системи, представленої на рис. 1.6.

     Рис. 1.6. Еквівалентна система к-го каналу

     Таким чином, банк фільтрів з нерівними  коефіцієнтами децимації виражається  як банк фільтрів з рівними коефіцієнтами  децимації, що має N каналів. Повне відновлення[22]. 

     1.2. Основні принципи роботи багаточастотних фільтрів 

     При поділі сигналу на два або більше сигналів використовується система аналіз-синтезу. При аналізі сигнал розділяється за допомогою М-фільтрів  в M смугах тієї ж пропускної здатності, і кожен суб-сигнал децимується. У разі фільтра банків при n=8, загальний сигнал спочатку розділяється на  дві смуги. Після цього, децимований сигнал розділяється на дві смуги і так далі. Проробивши це три рази отримаємо трирівневий банк фільтрів відповідної структури, показаної на рисунку 1.7(б). У цьому випадку Н₀(z) є фільтром верхніх частот із смугою пропускання, яка дорівнює половині смуги проріджування, де коефіцієнт дорівнює 2, H₁(z) і H₂(z) є смуговими фільтрами із смугою пропускання дорівнює 1/4 
та 1/8 смуги, відповідно, і відповідними коефіцієнтами проріджування є 4 і 
8, а Н₃(z) є фільтр нижніх частот з тією ж пропускною здатністю і децимуючим коефіцієнтом як Н₂(z). У багатьох додатках процесор відповідає за зберігання сигналу в пам'ять або передачу його через канал. Основною метою є значне зниження, за допомогою належної схеми кодування, число бітів представляють вихідний сигнал для зберігання або 
передачі цілей. При поділі сигналу в різних смугах частот за допомогою банка фільтрів аналіз-синтезу, характеристики сигналу відрізняються в кожній групі і різна кількість бітів може використовуватися для кодування і декодування суб-сигналів. Типовим прикладом є використання системи в цілому для покращення адаптивної обробки сигналів. Іншим прикладом є де-зашумлення сигналу, здійснюється за допомогою спеціального банка фільтру, називається дискретно-часовим вейвлет-банком (Vetterli and Kova evi , 1995; Misiti et al., 1996).

     

     Рис. 1.7. Банк фільтрів (аналіз і синтез).(a) M-канальний банк фільтрів. (b) три рівня банка фільтрів. 

     Роль  фільтрів в частині синтезу полягає в приблизному відновленні вихідного сигналу. Це здійснюється в два етапи. По-перше, для рівномірного банка фільтра, М суб-сигналів на виході блоку обробки інтерполюються на коефіцієнт M і фільтруються М фільтрами синтезу Fk(z) при k = 0,1, ..., M-1, тоді як для октавного банка фільтр, інтерполяційні коефіцієнти суб-сигналів такі ж, як для частини аналізу. По-друге, виходи цих фільтрів додаються. В 
передачі і зберіганні додатків, кінцева мета полягає в розробці загальної системи, такої що, незважаючи на значне скорочення кількості біт, що використовуються в блоці обробки, реконструйований сигнал затримує вихідний сигнал або страждає від незначної втрати інформація, яку несуть суб-сигнали.