Энтропия тепловая диаграмма

Для элементарного обратимого процесса температура одновременно является оценкой как теплового состояния рабочего тела, так и источника тепла;  +dq -элементарное тепло, воспринимаемое рабочим телом;  -dq - элементарное тепло, отдаваемое источником рабочему телу.

Относя в рассматриваемом примере dq и Т к рабочему телу, будем иметь выражение 

                                                                        (2.20)

представляющее собой увеличение энтропии ТРТ. 

Понимая dq и Т, отнесенными к источнику тепла, получаем интеграл

                                                                (2.21)

представляющий собой уменьшение энтропии источника.

Итак, при протекании незамкнутых обратимых процессов изменение энтропии  теплового источника равно изменению энтропии рабочего тела, но противоположно по знаку. [6, с.31]

Изменение энтропии всей системы в данном случае будет равно

                                                                     (2.22)

2.3. Изменение энтропии в необратимых процессах

Рассмотрим случай, когда в системе совершаются необратимые процессы. Пусть термодинамическая система перешла из состояния 1 в состояние 2 реальным необратимым процессом (рис. 2.4).

          (рис. 2.4)

При этом оба состояния пусть будут равновесными. Так как состояния равновесные, то им отвечают соответствующие значения энтропии  s1  и  s2. Следовательно, при этом переходе произошло изменение энтропии (s2 − s1).

Однако при необратимом изменении системы от состояния 1 до состояния 2 величина (s2 − s1) уже не может быть определена интегралом 

т.к. при этом имеют место различные реальные потери тепла на трение, излучение, завихрение и т.п., которые этим интегралом не охватываются.

Следовательно, для необратимых процессов понятие энтропии теряет значение термодинамического параметра.  [1, с.80]

Изменение энтропии в необратимом процессе можно определить, если воспользоваться условием, что энтропия системы есть функция состояния и ее изменение не зависит от процесса, по которому система переходила из начального состояния в конечное. Для этого необходимо отыскать такой обратимый процесс, который приводил бы систему из взятого начального состояния 1 в полученное конечное состояние 2, т.е. перевел бы систему в то же состояние, которое получилось при необратимом процессе.

Для этого обратимого процесса уже можно определить интеграл

                                                                                             (2.23)

который и будет собой представлять то изменение энтропии

которое получалось при совершении необратимого процесса в системе, т.е.

                                                                     (2.24)

Однако вместе с тем интересно и важно установить соотношение между изменением энтропии термодинамической системы

для случая необратимых процессов. При одинаковой затрате теплоты и при фиксированных температурах Т1 и Т2 источника и холодильника двигатель, работающий по необратимому циклу Карно, отдает меньше работы, чем двигатель, работающий по обратимому циклу Карно. Следовательно,

Это неравенство запишется:

                                            (2.25)

тогда

                                                                                                  (2.26)

Следует отметить, что во всех выражениях для необратимых циклов температуры Т1 и Т2 относятся к источникам теплоты, а не к рабочему телу вследствие конечной разности температур между ними

                                                                                             (2.27)

Учитывая собственный знак q2, получаем

                                                                                             (2.28)

Для необратимого цикла Карно

                                                                                               (2.29)

Для всякого произвольного необратимого цикла, который можно представить в виде суммы большого числа элементарных необратимых циклов Карно, для каждого из которых будет справедливо соотношение (2.28), очевидно неравенство

                                                                                             (2.30)

или в интегральной форме

                                                                                          (2.31)

Здесь интеграл

                                                                                          (2.32)

представляет уменьшение энтропии источника теплоты; другой интеграл

                                                                                          (2.33)

представляет увеличение энтропии холодильника, т.е. согласно (2.28)

                                                                                       (2.34)

Таким образом, для всего необратимого цикла в целом получим

                                                                                             (2.35)

Обобщая (2.9) и (2.35), получаем

                                                                                            (2.36)

где знак = для обратимого цикла; знак < для необратимого цикла.

Это неравенство представляет математическую трактовку второго закона термодинамики для необратимых и обратимых циклов. Изменение энтропии всей системы в целом может быть представлено как совокупность изменений энтропии рабочего тела, источника и холодильника:

                                                              (2.37)

Для источника тепла, отдающего теплоту рабочему телу при температуре Т1, имеет место уменьшение энтропии:

                                       (2.38)

Для холодильника, получающего теплоту при температуре Т2, имеет место увеличение энтропии:

                                            (2.39)

причем

                                                                                  (2.40)

Для рабочего тела изменение энтропии в цикле равно нулю, т.е. ΔsТРТ=0, т.к. рабочее тело возвращается в свое первоначальное состояние.

Следовательно, если учитывать изменение энтропии каждой составляющей, изменение энтропии всей системы в целом при необратимых циклах  будет всегда положительно, т. е.

Итак, в результате свершения необратимого цикла энтропия всей системы возрастает.  [6, с.32]

Но так как для необратимого цикла

а изменение энтропии системы Δs>0, то, следовательно,

                                                                          (2.41)

или для элементарного необратимого процесса

                                                                                          (2.42)

т.е. в элементарном необратимом цикле отношение вида уже не имеет смысла дифференциала энтропии для обратимого цикла.

2.4. Изменение энтропии изолированной системы

Для изолированной системы внешний теплообмен, как и любой другой вид энергообмена, отсутствует и, следовательно, dq=0.

Если в изолированной системе происходят обратимые процессы, то согласно уравнению (2.19): 

                                                                                       (2.43)

Так как Т существенно положительная величина, не равная нулю (Т≠0), то единственно возможным результатом будет

                                                                           (2.44)

Если в изолированной системе происходят необратимые процессы, то согласно уравнению (2.42) Тds>dq, имеем 

                                                                                  (2.45)

Значит, если в изолированной системе имеет место увеличение энтропии, то, следовательно, в такой системе идут необратимые процессы, ведущие всю систему к наиболее вероятному состоянию, к состоянию равновесия.

Наступлению равновесия отвечает максимум энтропии такой изолированной системы:  s=smax. Условие равновесия изолированной системы - smax.

Энтропия является некоторой характеристической функцией. Ее изменение характеризует направление процессов, происходящих в изолированной системе. 

Если в изолированной системе происходят обратимые процессы, то энтропия системы остается постоянной, если же в этой системе имеют место необратимые процессы, то энтропия такой системы возрастает.  [4, с.19-20]

Следовательно, математическим выражением второго закона термодинамики для изолированных систем является уравнение

                                                                                                  (2.46)

где знак = для обратимых процессов; знак > для необратимых процессов.

3. Тепловая диаграмма

В термодинамике для анализа работы тепловых машин весьма широко используются энтропийные диаграммы. Наиболее распространена тепловая диаграмма T-S.

В 1872 г. Бельпером была предложена плоская система термодинамического анализа термодинамических процессов.

              T

              1

              T              2

              0                                           S

                            dS             

                 (рис. 3.1)

Величина количества теплоты элементарного процесса аb, будет эквивалентна элементарной площадке , т.е. произведению ТdS, т.к. dq = TdS – согласно аналитическому выражению второго начала термодинамики.

Общее количество теплоты подводимое (отводимое) в процессе 1-2, эквивалентно площади под линией данного процесса, поскольку

                                                                                            (3.1)

поэтому часто диаграмма Т-S называется «тепловой диаграммой».

На T-S диаграмме видно, в каком процессе теплота подводиться, а в каком отводится. Процесс 1-2 сопровождается подводом теплоты, поскольку энтропия в процессе 1-2 возрастает, а согласно аналитическому выражению второго начала термодинамики знаки изменения энтропии и теплоты совпадают , т.к. абсолютная температура имеет всегда положительное значение. [6, с.33]

Изображение процесса в тепловой системе координат определяется конкретным для данного термодинамического процесса значением функциональной зависимости Т = f(S). Вид процесса в координатах Т-S характеризуется величиной производной , которая согласно второму закону и определению истинной теплоемкости в любой точке процесса будет равна

                                                                                                        (3.2)

Эту зависимость примем за основу для исследования термодинамических процессов в тепловой системе координат.

Рассмотрим изохорный процесс в системе координат Т-S.

Угловой коэффициент для изохоры (V=const) принимаем следующий вид

T              n=k              n=

                            n=0             

              n=1              A                            n=1                                         

              n=0             

              n=

              n=k

              S             

                     (рис. 3.2)

т.е. с увеличением температуры возрастает.

Следовательно, изохора в T-S координатах кривая, обращенная своей выпуклостью вниз. Площадь под изохорой эквивалентна изменению внутренней энергии , которым сопровождается изохорный процесс. Изменение внутренней энергии за счет подвода или отвода теплоты. Рассмотрим семейство изохор. Расстояние по горизонтали (Т=idem) между изохромами различных объемов согласно формуле

                                                                           (3.3)