2.4. Розв’язування нелінійного рівняння Q(x)=0 за методом діхотомії

для визначення прив’язки перерізу нульового значення поперечної сили 

Відоме: вираз поперечної сили Q(x);

Знайти: прив’язку перерізу із нульовим значенням Q.

Прирівнюю до нуля функцію розподілу поперечної сили та розв’язую отримане, таким чином, нелінійне рівняння відносно x(м): 

Розв’язую зазначене рівняння методом діхотомії у MSExcel. При цьому інтервал відокремлення корня приймаю у межах прольоту балки [0;L], за значення нульової ітерації приймаю :

Таким чином, маємо координату прив’язки перерізу з нульовим значенням поперечної сили відносно лівої опори (Q=0):

Це значення буде використане для визначення максимального значення згинального  момента  прольоті балки.

2.5. Визначення максимального згинального  момента у прольоті балки 

за інтерполяційним поліномом 

Використаю  інтерполяційний поліном M(x), аргументом якого буде координата прив’язки перерізу з нульовим значенням поперечної сили отриманого у пункті 2.2: 

40.300 МПа 

2.6. Дібрання геометричних характеристик поперечного перерізу балки

  за розрахунковим значенням міцності  матеріалу 

З умови  міцності балки на згин ,

де  – розрахункове значення міцності отримане у п. 1.5.,

      - максимальне (розрахункове) значення момента з п.2.5.

Для прямокутного перерізу із співвідношенням розмірів момент опору дорівнює . Для визначення геометрич характеристик досить розв’язати нелінійне рівняння відносно шуканих геометричних параметрів проєктування: . У даній роботі це не вимагається. 

3.Визначення  переміщень балки  змінного перерізу

  методами чисельного  інтегрування 

Постановка  задачі: визначити кут поворота опорного перерізу балки розглянутої у п.2, при цьому, складність полягає у непостійній за довжиною балки згинній жорсткості, яка змінюється за нелінійним законом.

Визначаю  кут поворота правого опорного перерізу за інтегралом Мора:

Дійсний стан M описується функцією згинального  момента отриманою як інтерполяційний  поліном M(x) у п.2.3. Одиничний стан описується функц згин момента від одиничного момента на правій опорі , де – довжина балки. Інтеграл Мора для визначення кутового переміщення запишеться аналітично як:

Для обчислення отриманого інтеграла використаю метод  трапецій як один з простих та порівняно точних методів чисельного інтегрування. Розбиваю проліт балки на 20 підінтервалів і обчислюю підінтегральну функцію у кожній квадратурній точці. У подальшому для збільшення точності чисельного інтегрування можна виконати більш щільне розбиття. Всі обчислення виконую у програмі ПЕОМ – MSExcel.

Висновок: обчислення переміщень складно представлених розрахункових схем конструкцій досить зручно виконувати за чисельними методами, зокрема, кут поворота для розглянутої балки із складним нелінійним законом зміни згинної жорсткості визначений за методом трапецій і дорівнює 68.7098 / (рад).

Висновок  по роботі: чисельні методи обчислювальної математики є незамінною альтернативою у дослідницьких та інженерних задачах будівництва, які мають складний аналітичними розв’язок.

Список  літератури

1. Вентцель  Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит. – 1988. – физико-математическая б-ка инженера. – 480 с.
2. Иванова В.М. Математическая статистика. – М.:ВШ, 1981.-371с.
3. Вигодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М., 1964. – 872 с.
4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М. Высш.школа, 1979. –183с.
5. Похвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука, 1987.
6. Калайда О.Ф. Чисельні методи: Навч. посібник. – К 2000.-249с.
7. Фадеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры. М:ФизМатГиз, 1963
8. Корн Г.К., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.:1970.
9. Microsoft Office 2000. Нортон П.К. Издательство Диасофт, 1999.