Цифровые системы автоматического управления

     Цель работы

     Освоить на практике методы получения и анализа уравнений состояния цифровой системы автоматического управления.

     Исходные  данные

     Импульсная передаточная функция замкнутой системы

       W(z)= . 

1. Метод непосредственной декомпозиции

     Представим  передаточную функцию в виде:

     

      ;       

     m=n=2, диаграмма состояния имеет вид 

       
 
 

 
 
 
 

     Уравнения состояния и выхода:

     

     Отсюда:

     

     Решим полученные уравнения состояния  и выхода. Для уравнения состояния  вычислим переходную матрицу Φ(k) методом z – преобразования:

 
Уравнение выхода:

     Найдем  начальные условия для переменных x₁ и x₂, исходя из условия (y(0)=y(1)=0), причем для этого будем использовать формулу: .

     При условии подачи на вход системы единичной  ступеньки получаем следующие начальные условия: . Отсюда по той же формуле получаем значение выхода системы при k=3, которое составляет y(3)=0. 

2. Метод последовательной декомпозиции

Диаграмма состояния  имеет вид

     Составим  уравнения состояния и выхода:

     

     Поиск переходной матрицы при помощи теоремы  Кэли-Гамильтона:

     Собственные числа матрицы А равны:

     Решаем  систему уравнений:

  

     Выход системы: ;

     При условии подачи на вход системы единичной  ступеньки получаем следующие начальные условия: . Отсюда по той же формуле получаем значение выхода системы при k=3, которое составляет y(3)=0. 
 

3. Метод параллельной декомпозиции

Разложим передаточную функцию на дроби:

     

Приведем выражение  к степеням z^-1: .

  

Диаграмма состояний:  

      Составление уравнений состояния и выхода:

     

      Соответствующие матрицы:

      

     Собственные числа матрицы A:

     

     Т.к. матрица A диагональная, то:

     Переходная  матрица:

      

     Выход системы:

      ;

     При условии подачи на вход системы единичной ступеньки получаем следующие начальные условия: . Отсюда по той же формуле получаем значение выхода системы при k=3, которое составляет y(3)=0.