Расчет рекурсивного цифрового фильтра

 

Федеральное  агенство связи

 

Хабаровский институт инфокоммуникаций  (филиал)

ГОУ  ВПО  СИБИРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И  ИНФОРМАТИКИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по Основам математической обработке цифровых сигналов на тему

 

 

расчет рекурсивного цифрового фильтра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент Будков А.А.

студ. билет №092зх-813

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хабаровск

2010

 

 

Задание.

По исходным данным необходимо выполнить  расчет рекурсивного цифрового фильтра.

Считаются заданными следующие  параметры:

     1 Вид фильтра: ФНЧ,  ФВЧ.

     2 Тип фильтра: Баттерворта  (Б) или Чебышева (Ч).

     3 Частота дискретизации  fд.

     4 Границы полос пропускания  (ПП) :

         -верхняя  граница полосы пропускания  fп   для ФНЧ;

         -нижняя  граница  полосы пропускания  fп   для ФВЧ;

     5 Границы полос задерживания (ПЗ);

         -нижняя граница ПЗ  fз  для  ФНЧ;

         -верхняя граница ПЗ  fз  для  ФВЧ.

     6 Допустимая  неравномерность амплитудно-частотной характеристики в ПП   ∆A max, дБ.

      7 Минимально допустимое ослабление  в ПЗ А min, дБ.

Исходные данные на вариант 30.

Вид фильтра ФНЧ

Тип фильтра Баттерворта

Частота дискретизации fд = 16 кГц

Границы полос  пропускания fп = 1.7 кГц

Границы полос задерживания fз = 3.8 кГц

Допустимая неравномерность  ПП ∆A max = 1.35 дБ

Допустимое ослабление ПЗ А min = 25 дБ.

 

Графическое представление  задачи.

Отобразим графически требования к  АЧХ фильтра нижних частот, для этого потребуется вычислить:

  

  

 

  

 

Методы проектирования рекурсивных ЦФ.

Передаточная функция цифровых БИХ-фильтров задаются соотношением , которая подобна передаточной функции АФ при замене переменной z на s. Следовательно, одним из подходов к проектированию цифровых БИХ-фильтров является преобразование передаточной функции АФ в передаточную функцию ЦФ. Чтобы ЦФ обладали требуемыми свойствами как их АФ, требуется выполнения двух условий:

1. Мнимая ось s-плоскости ( ) отображалась в единичную окружность в z-плоскости ( ). Это условие необходимо для сохранения частотных характеристик АФ.
2. Левая половина s-плоскости ( ) отображалась в z-плоскости внутри единичного круга ( ). Это условие необходимо для сохранения свойств устойчивости АФ.

Метод численного интегрирования.

Дифференциальное уравнение, описывающее АФ заменяется на разностное уравнение ЦФ, путем аппроксимации производной некоторыми конечными разностями. Эта операция приводит к замене комплексной переменной s в передаточной функции АФ на комплексную переменную z в передаточной функции ЦФ.

Различные методы численного интегрирования дадут различные функции перехода и, следовательно, различные результирующие ЦФ. Рассмотрим метод Эйлера, аппроксимирующий производную по времени непрерывной функции конечной разностью вида

, где T – интервал дискретизации, а y(n)=y(nT). В операторной форме уравнение дает

.

Покажем, что данный метод удовлетворяет  двум выше указанным условиям:

1. или из этого следует что при .
2. При тогда и, следовательно, .

Метод инвариантности импульсной характеристики.

Импульсная характеристика h(n) результирующего ЦФ представляет собой выборки импульсной характеристики h(t) соответствующего АФ.

, где T – интервал дискретизации

Рассмотрим передаточную функцию  H(s) исходного АФ

, где  и все полюсы различны, представляет собой i-й полюс АФ, вычет H(s) в полюсе . Импульсную характеристику h(t) АФ можно получить, осуществив обратное преобразование Лапласа

, где u(t) - единичная ступенчатая последовательность. Тогда импульсная характеристика h(n) ЦФ

, где u(n) - единичная ступенчатая последовательность. Передаточная функция H(z) результирующего ЦФ определяется путем нахождения z-преобразования импульсной характеристики

 

Сравнивая H(s) и H(z), получаем соотношения перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам

.

Данный метод применим только к  ФНЧ и ФПЧ, так как обладает эффектом наложения спектров из-за неоднозначной функции перехода из s-плоскости в z-плоскости.

Метод билинейного преобразования.

Данный метод определяет однозначную функцию перехода из s-плоскости в z-плоскости, но имеет искажение частотной характеристики и не сохраняет импульсной характеристики. Искажение частотной характеристики ЦФ может быть компенсировано искажением частотной характеристики АФ.

Билинейное преобразование определяется так

Переход передаточной функции АФ H(s) в передаточную функцию ЦФ H(z)

Подставляя  , где - нормированная «цифровая» частота и , где - нормированная «аналоговая» частота, получим формулы перевода частот

 

В справочной литературе приводятся для аналоговых ФНЧ нормированные  передаточные функции, т.е. имеющие  рад/с.

Обобщенное билинейное преобразование.

Рассмотренное билинейное преобразование позволяет получить передаточную функцию цифрового ФНЧ из передаточной функции аналогового ФНЧ. Существует более общее преобразование позволяющее преобразовывать аналоговый ФНЧ в избирательный БИХ фильтр любого из рассмотренных типов (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ). Формулы обобщенного билинейного преобразования:

 

 

Цифровой фильтр	Граничные “цифровые” частоты	Формула замены	Параметр	Связь “аналоговых” частот с “цифровыми”	Граничные “аналоговые” частоты
Нижних частот
Верхних частот
Полосовой	,				, где
Режекторный	,				, где

 

Расчет передаточной функции АФ и преобразование ее в передаточную функцию ЦФ.

Расчет передаточной функции АФ будем производить по формулам обобщенного билинейного преобразования и номограмм для фильтров Баттерворта.

Рассчитаем параметр преобразования и граничные “аналоговые” частоты :

 

 

Найдем |p| - модуль коэффициента отражения и L – вспомогательный параметр при ∆A max = 1.35 дБ, А min = 25 дБ по следующей таблице и номограмме:

, %	5	10	15	25	50
, дБ	0,011	0,044	0,10	0,28	1,25

 

Получаем, |p| = 52,8% и L = 0,3.

 

Определим порядок n передаточной функции H(s) и коэффициенты передаточной функции по следующей таблице и номограмме:

 

		5	10	15	25	50
С		0,05006262	0,10020378	0,15171652	0,25819889	0,57735027
В02		3,1602993306	2,2304567213	1,8253842510	1,3915788419	0,9306048582
		3,1602993306	2,2304567213	1,8253842510	1,3915788419	0,9306048582
В03		2,7132854179	2,1508388528	1,8749471964	1,5704178025	1,2009369490
		1,3566427140	1,0754144264	0,9374735982	0,7852089012	0,6004684745
		2,3497741083	1,8626724257	1,6237519029	1,3600217115	1,0400419062
В04		0,8090237244	0,6796636758	0,61317076610	0,5368476642	0,4390154575
		1,9531560478	1,6408532638	1,4803251816	1,29606449118	1,0598770740
		1,9531560473	1,6408532638	1,4803251816	1,29606449118	1,0598770740
		0,8090237244	0,6796636758	0,61317076610	0,5368476642	0,4390154575

 

Получаем, n = 3 и C = 0.57735027, a0 = -1,2009369490, a1 = -0,6004684745, b1 = 1,0400419062.

Тогда передаточная функция АФ для n нечетного:

, где k = n/2 (k = 1)

Построим АЧХ ( |H(iw)| ) используя MathCad:

Рассчитаем граничные частоты  из нормализованных граничных частот и амплитудные значения в соответствующих частотах используя MathCad по формулам:

  

 

 

Так как 0.091 > е_з = 0.056, то полученный фильтр не удовлетворяет условию задания, следовательно, нужно увеличить порядок передаточной функции H(s) до n = 4, тогда коэффициенты будут равны:

C = 0,57735027

a1 = -0,4390154575; a2 = -1,0598770740;

b1 = 1,0598770740; b2 = 0,4390154575;

 

Тогда передаточная функция АФ для n четного:

, где k = n/2 (k = 2)

 

Построим АЧХ ( |H(iw)| ) и ФЧХ ( arg(H(iw)) ) АФ используя MathCad:

Используя MathCad, рассчитаем амплитуду на граничных частотах:

 

 

Так как 0.866 > 1-0.144=0.856 и 0.034 < 0.056, то полученный фильтр удовлетворяет условию задания.

Передаточная функция ЦФ получается, по методу билинейного преобразования, заменой , получаем:

Построим АЧХ ( |H( e^i*2pi*w )| ) и ФЧХ ( arg(H(e^i*2pi*w )) ) ЦФ используя MathCad:

Таблица 10 значений АЧХ ЦФ от 0 до 0.5:

Норм. w	f = w*16000, кГц	| H( ei*2pi*w ) |	-20lg(|H( ei*2pi*w )|)
0.00	0.0	1	0.0000003711
0.05	0.8	1	0.002742
0.10	1.6	0.914	0.785
0.15	2.4	0.348	9.163
0.20	3.2	0.089	20.964
0.25	4.0	0.025	32.031
0.30	4.8	0.006976	43.128
0.35	5.6	0.001687	55.455
0.40	6.4	0.0002791	71.086
0.45	7.2	0.00001576	96.051
0.50	8.0	0	1299