Аграрное общество

                     (11) 

Здесь:

G(X, Y, N) - суммарное количество продукта, изымаемое государством у крестьян в единицу времени (например, за год) посредством налогов и различных поборов;

- функции потребления государства и крестьян, соответственно, показывающие, какое количество продукта потребляется ими в единицу времени. Функция включает в себя расходы на содержание чиновничества, на развитие инфраструктуры, охрану внешних границ и т.п.;

F(X,Y,N) - производственная функция, характеризующая совокупное сельскохозяйственное производство в государстве;

C(X,Y,N) - функция затрат государства на управление (на обеспечение повиновения крестьянства);

D(Y) - функция прироста населения.

В первом приближении  можно считать, что функция G(X, Y, N) пропорциональна X, Y и N:

G(X, Y, N) = a∙X∙Y∙N.                     (12)

Аналогичное приближение  может быть принято и для функций  потребления:

  

                          (13)

                                                                (14) 

  

Допустим, что  функция C(X,Y,N) затрат на управление не зависит явно от X. Если границы государства стабильны, то допустимо считать, что C(X,Y,N) линейна по N. С другой стороны, она должна возрастать как при Y → 0 (поскольку обнищание населения усиливает недовольство и сопротивление власти), так и при Y → ∞ (так как у состоятельного населения возникает стремление добиваться независимости от центральной власти). В соответствии с этим в модели принимается, что

         (15)

Производственная  функция может быть представлена в виде

                             F(X,Y,N) = N∙f(X)∙R(N),                         (16)

где R(N) – площадь  обрабатываемой одним крестьянином земли, а функциональная зависимость f(X) отражает вклад государства в производительность труда (строительство дамб и каналов, проведение ирригационных работ, обеспечение порядка).

В соответствии с (8):

В модели используется гладкое приближение этой функции:

                      (17)

в соответствии с которым  R(N) ~ const = при N → 0  и R(N) ~ ∙( /N) при N → ∞.

Предполагается, что производительность труда  f(X) – монотонно возрастающая функция, выходящая на насыщение при X → ∞. В модели принято:                                            (18)

где b и – некоторые постоянные. Таким образом, вид функции аналогичен представленному на рис.2. Предполагается, что средства X, прямо или косвенно расходуемые государством на повышение производительности труда крестьян, входят составной частью в функцию потребления государства .

Функция прироста населения, как и в предыдущей модели, предполагается равной D(x) = r ∙(1 − /Y).

В итоге имеем  систему:

         (19)

Раскрыв , получим

  (20)

В полученной системе  двенадцать коэффициентов. От некоторых  из них можно избавиться, введя  нормировку  X, Y, N и t.

Положив , , , , получим

                         (21)

где  β = a∙ ∙ /r,  ax = Ax/r,  ay = Ay/r,  c1 = C1/(r ∙ 2),  c2 = C2/r,  F = f∙ /(r ∙ ),  = /( ∙ ).

Численное решение системы (21) в пакете MathCAD.

 
 
 
 
 

   - начальные условия 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис 9. Траектории системы в координатах X, N при y = 1.

Характеризует зависимость состояния государственной  казны от

численности крестьян 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис 10. Зависимость X(t) для различных начальных условий.

Характеризует зависимость состояние государственной казны от времени.

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис 11. Зависимость N(t) для различных начальных условий.

Характеризует зависимость состояния численности  крестьян от времени.  
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис 12. Зависимость Y(t) для различных начальных условий.

Характеризует зависимость состояния материальных накоплений

крестьян  от времени. 
 
 
 

Результаты численного решения системы показали, что  при различных наборах параметров существует точка устойчивого равновесия типа "фокус" или "центр" и  соответствующая  область  притяжения  данного  аттрактора  в  фазовом пространстве (X,Y,N). Существует  предельный  цикл  с соответствующей  областью притяжения. 

3) Модель аграрного государства феодального типа

В предыдущей модели военно-административная элита отожествлялась с институтом государства. Однако, как известно из истории, конфликты и социальное взаимодействие могут происходить не только между государством и народом, но и внутри властных структур, что приводит к многообразию различных форм правления и политической организации. В приведенной далее модели элита и государство представлены не как единое целое, а как отдельные элементы системы, взаимодействующие между собой.

Итак, в соответствии с (2), введем в рассмотрение крестьянское сословие, землевладельцев-феодалов и институт центральной власти. Вертикальной мобильностью, в условиях сословного средневекового общества практически отсутствующей, можно пренебречь, т.е. D’ji = 0. Таким образом, имеем систему из пяти уравнений для величин: – государственная казна, , и – материальные накопления и численность феодалов, и – материальные накопления и численность крестьянства соответственно.

Предположим, что  взаимоотношения между выбранными группами построены следующим образом. Основным (и, при сделанных упрощениях, – единственным) производителем материальных благ (в данном случае – сельскохозяйственной продукции) являются крестьяне. Землевладельцы и государство силой изымают продукцию у крестьян, а государство, также, – у землевладельцев, встречая при этом некоторое сопротивление и неся расходы на его преодоление. Помимо того, государство и землевладельцы косвенно вносят определенный вклад в повышение выпуска сельскохозяйственной продукции (инвестиции I), что выражается в организации и проведении ирригационных работ, охране территории и т.п.

Положим, что  и

                     (22)

где R( ) – площадь обрабатываемой земли, приходящейся на крестьянина (за единицу принимается максимальная площадь, которую способен обрабатывать один крестьянин).

Будем, как и прежде, в первом приближении считать, что функции G, Q, I пропорциональны соответствующим накоплениям  . Тогда коэффициенты системы (2) примут вид: 

           

            

                    

                               

                            
 
 
 
 
 

Численное решение в пакете MathCAD. 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                     Рис 13. Зависимость Nj = Nj(t).

                              Характеризует зависимость численности

                                       феодалов и крестьян от времени. 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                           Рис 14. Зависимость Xj = Xj(t)

                      Характеризует зависимость материальных накоплений

                              государства, феодалов и крестьян  от времени. 
 

На рисунках 13 и 14 представлены зависимости накоплений и численностей социальных групп от времени  при  одинаковых  начальных  условиях

Из рисунков видно, что при рассматриваемых значениях параметров

система  имеет  точку  неустойчивого  равновесия,  покинув  которую,  она 

может  перейти  в  одно  из  двух  принципиально  разных  для  данной

социальной  системы  состояний.  Представленные  на  рисунках  графики

можно  интерпретировать  как  отображение  динамики  конфликта  между 

центральной  властью  и  элитой. То есть социальная система из состояния со сбалансированным управлением в результате приходит к авторитаризму (численность и могущество  элиты  обращаются  в  нуль).

Конечно, приведенный  пример расчета довольно условен. Зависимости  параметров модели от динамических переменных, безусловно, имеют более сложный  характер. Данный пример служит лишь для  иллюстрации того, что с помощью  представленного подхода можно моделировать и наблюдать экономические и социальные кризисы, революции, смены форм производственных отношений, форм правления и т.п. 

 

4. Развитое индустриальное общество. 

Экономической основой развитых индустриальных обществ  является

производство  промышленной продукции и ее рыночное перераспределение 

среди  членов  общества  на  основе  товарно-денежных  отношений.  В 

отличие  от  аграрных  обществ,  ресурсная  база  которых  единообразна

(земельный   фонд)  и  с  неизбежностью   ограничена,  ресурсная  база

индустриальных  обществ  многообразна (в  нее  входят  полезные

ископаемые, источники  энергии, технологии, знания и т.д.) и - главное -

изменчива (как  правило, увеличивается в силу непрерывных  технических