Кантарович – первый нобелевский лауреат по экономике в России

Одним из наиболее значительных и ярких достижений в области  экономико-математических исследований было открытие Леонидом Витальевичем Канторовичем (1912-1986) метода линейного  программирования. Линейное программирование - решение линейных уравнений (уравнений  первой степени) посредством составления  программ и применения различных  методов их последовательного решения, существенно облегчающих расчеты  и достижение искомых результатов. Линейное программирование изучают  десятки тысяч людей во всем мире. Под этим термином скрывается колоссальный раздел науки, посвященный линейным оптимизационным моделям. Иначе  говоря, линейное программирование - это  наука о теоретическом и численном  анализе и решении задач, в  которых требуется найти оптимальное  значение, т. е. максимум или минимум, некоторой системы показателей  в процессе, поведение и состояние  которого описывается той или  иной системой линейных неравенств.

Сам термин «линейное программирование»  был предложен в 1951 году американским экономистом Т. Купмансом. За разработку метода линейного программирования или, как сказано в дипломе  Шведской академии наук, за «вклад в  теорию оптимального распределения  ресурсов Л.В.Канторович был удостоен Нобелевской премии по экономике (1975). Премия была присуждена ему совместно с американским экономистом Тьяллингом Чарльзом Купмансом, который несколько позже, независимо от Канторовича, предложил сходную методологию.

Разработка линейного  программирования началась с поиска решения практической задачи. К Канторовичу  обратились инженеры фанерного треста с просьбой найти эффективный  способ распределения ресурсов, обеспечивающий наиболее высокую производительность оборудования. Работники предприятия  ломали голову над тем, как при  пяти станках и восьми видах сырья  обеспечить оптимальный вариант  выпуска фанеры. Иными словами, нужно  было найти решение конкретной технико-экономической  задачи с целевой функцией («функционалом») максимизировать выпуск готовой  продукции.

Заслуга Канторовича состоит  в том, что он предложил математический метод выбора оптимального варианта. Решая частную задачу наиболее рациональной загрузки оборудования, ученый разработал метод, получивший название метода линейного  программирования. По сути дела, он открыл новый раздел математики, получивший широкое распространение в экономической  практике, способствовавший развитию и использованию электронно-вычислительной техники.

С оптимальным планом любой  линейной программы автоматически  связаны оптимальные цены или  «объективно обусловленные оценки». Последнее громоздкое словосочетание Леонид Витальевич выбрал из тактических  соображений для повышения «критикоустойчивости»  термина. Взаимозависимость оптимальных  решений и оптимальных цен - такова краткая суть экономического открытия Л. В. Канторовича.

В задаче по оптимизации  выпуска фанеры Канторович представил переменную, которую следовало максимизировать  в виде суммы стоимостей продукции, производимой всеми станками. Ограничители были представлены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между  всеми затрачиваемыми в производстве факторами (древесиной, клеем, электроэнергией, рабочим временем) и количеством выпускаемой продукции (фанеры) на каждом из станков.

Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные разрешающими множителями, или мультипликаторами. С их помощью  разрешается поставленная задача. Если известны значения разрешающих множителей, то искомые величины, в частности, оптимальный объем выпускаемой  продукции, могут быть сравнительно легко найдены.

Канторович обосновал  экономический смысл предложенных им коэффициентов (разрешающих множителей). Они представляют собой не что  иное, как предельные стоимости ограничивающих факторов. Иначе говоря, это объективно значимые цены каждого из факторов производства применительно к условиям конкурентного рынка.

Для решения задачи на оптимум  Канторович использовал метод последовательных приближений, метод последовательного  сопоставления вариантов с выбором  наилучшего в соответствии с условиями  задачи.

Допустим, требуется решить транспортную задачу, обосновать наиболее рациональное распределение грузопотоков. Для примера, всего нужно перевести 180т груза из трех источников к  трем потребителям, общий спрос которых  также равен 180 т. Сложность в том, что груз распределен неравномерно: у одного поставщика имеется 50 т, у  другого - 60 т, у третьего - 80 т.

Также неравнозначен спрос  потребителей: он составляет соответственно 40, 85 и 55 т. Неодинаковы и расстояния - плечи перевозки грузов - от 1 до 6 км. Задача заключается в том, чтобы  составить такой план перевозок, который отвечал бы требованию минимизации  грузооборота (минимальному количеству тонно-километров).

В повседневной практике менеджеры  могут заняться монотонной работой  по длительному перебору возможных  вариантов. Постепенно они смогут «пройти» от плана перевозок, скажем, в 750 т/км к плану в 655 т/км. Поиск потребует массу усилий, значительного количества расчетов. Главное же - трудно установить, какой из предлагаемых вариантов является оптимальным. Допустим, найден вариант плана с грузооборотом в 575 т/км.

Но остается неизвестным, нет ли еще одного или нескольких более выгодных вариантов плана, требующих меньших затрат.

Задача становится совсем неразрешимой, если перейти от сравнительно простой схемы к составлению  варианта перевозок одного или нескольких продуктов (угля, цемента, стройматериалов) в масштабе региона или страны. Даже в случае укрупнения, агрегирования  исходных показателей расчеты и  сопоставления вариантов потребуют  проведения такого количества операций, для осуществления которых придется привлечь чуть ли не все население  Украины.

Метод линейного программирования позволяет найти оптимальное  решение. Линейным оно называется потому, что основывается на решении линейных уравнений. Неизвестные в них  только первой степени; ни одно неизвестное  не перемножается на другое неизвестное. Такие уравнения отражают зависимости, которые могут быть изображены на графике прямыми линиями.

Несколько иной целевой критерий в задаче о диете (кормовом рационе). Задача сводится к поиску оптимального рациона для кормления скотины  или птицы. При постоянном изменении  рыночных цен на корма фермеры  подбирают оптимальный рацион при  минимуме затрат, производя соответствующие  расчеты на компьютере.

Впервые работа, в которой  излагалось существо предложенного  Канторовичем метода, была опубликована в 1939 г. под названием «Математические  методы организации планирования производства». Продолжая исследования, ученый разрабатывает  общую теорию рационального использования  ресурсов.

В период Великой Отечественной  войны, будучи профессором Военно-морской  инженерной академии в блокадном  Ленинграде, Канторович, опираясь на метод линейного программирования, обосновывает оптимальное размещение производственных и потребительских факторов. В 1942 г. он подготовил книгу «Экономический расчет наиболее целесообразного использования ресурсов», которая в тот период, к сожалению, не была опубликована.

Позже издается одна из наиболее крупных его работ «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959). В этой книге, как отмечали члены  Научного совета по применению математики в научных исследованиях и  планировании, представлен углубленный  анализ идей линейного программирования, разработанного автором ранее, и  вместе с тем впервые ставится проблема разработки оптимального плана  всего народного хозяйства как  математической модели. Несомненной  заслугой Канторовича является выявление  двойственных оценок в задачах линейного  программирования. Нельзя одно временно минимизировать затраты и максимизировать  результаты. Одно противоречит другому. Вместе с тем оба этих подхода  взаимосвязаны. Если, скажем, найдена  оптимальная схема перевозок, то ей соответствует определенная система  цен. Если найдены оптимальные значения цен, то сравнительно нетрудно получить схему перевозок, отвечающую требованию оптимальности.

Для любой задачи линейного  программирования существует сопряженная  ей, или двойственная задача. Если прямая задача заключается в минимизации  целевой функции, то двойственная - в максимизации.

Двойственные оценки дают принципиальную возможность соизмерять не только ценовые, затратные показатели, но и полезности. При этом двойственные, взаимосвязанные оценки соответствуют  конкретным условиям. Если изменяются условия, меняются оценки. В известной  мере поиск оптимума - это определение  общественно необходимых затрат, учитывающих, с одной стороны, трудовые, стоимостные затраты, а с другой-общественные потребности, полезности продукта для  потребителей.

При непосредственном участии  Канторовича и его ближайших  коллег - В.В. Новожилова (автора идеи продуктово-трудового баланса) и В.С. Немчинова (обосновавшего глобальный критерий функционирования экономики) формировалась отечественная экономико-математическая школа.

В США линейное программирование возникло только в 1947 г. в работах  Джорджа Данцига. Поучительно привести его слова об истории линейного программирования¹:

«Русский математик Л. В. Канторович на протяжении ряда лет интересовался применением математики к задачам планирования. В 1939 г. он опубликовал обстоятельную монографию под названием „Математические методы организации и планированияпроизводства“... Канторовича следует признать первым, кто обнаружил, что широкий класс важнейших производственных задач поддается четкой математической формулировке, которая, по его убеждению, дает возможность подходить к задачам с количественной стороны и решать их численными методами...

Канторович описал метод  решения, основанный на имеющемся первоначально допустимом решении... Хотя двойственные переменные и не назывались „ценами“, в целом идея метода состоит в том, что выбранные значения этих „разрешающих множителей“ для недостающих ресурсов

можно довести до уровня, когда становится целесообразной переброска ресурсов, являющихся избыточными...

Если бы первые работы Канторовича  были бы в должной мере оценены  в момент их первой публикации, то, возможно, в настоящее время линейное программирование продвинулось бы значительно дальше. Однако его первая работа в этой области оставалась неизвестной как в Советском Союзе, так и в других странах, а за это время линейное программирование стало настоящим искусством».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^{____________________________}

¹ Данциг Дж. Б. Линейное программирование, его обобщения и применения. Пер. с англ. — М.: Изд-во Прогресс, 1966. — С. 29.

4. Заключение.

На первый взгляд, теории Л. В. Канторовича были, как он сам  говорил приспособлены к плановой экономике, и т.д. Но это лишь внешняя  сторона дела. Главное - учет скрытых  параметров (рента), единый подход к  ограничениям (труд - всего лишь одно из них) и все, что отсюда вытекает - делают его экономические приложения универсальными и необходимыми сейчас. Вообще, главный итог великого эксперимента Канторовича в том, что он подошел  к экономическим проблемам вооруженный  самыми современными для тех лет  математическими средствами, и творчески  применял их. Это не значит, что его  выводы будут полностью работать и сегодня, но это, безусловно, значит, и в этом отношении Л.В. Канторович был, возможно, первым, что талант математика может в корне переустроить и  преобразовать экономическую мысль.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Список использованной  литературы:

1.Канторович Л.В. Мой путь  в науке // Успехи математических  наук, 1978, т.42, в2, с 173

  2.История экономических  учений: Учебное пособие / Под  ред. А.Г. Худокормова. - М.: Изд-во  МГУ, 1994. - Ч. II, гл. 30.

  3.Канторович Л.В. Экономический  расчет наилучшего использования  ресурсов. - М.: Изд-во АН СССР, 1959.

  4. Лауреаты Нобелевской  премии: Энциклопедия: Пер. с англ.–  М.: Прогресс, 1992.