Нелинейные модели регрессии и линеаризация

Нелинейные  модели регрессии  и линеаризация 

    Соотношение между социально-экономическими явлениями  и процессами далеко не всегда можно  выразить линейными моделями, т.к. при  этом могут возникнуть недопустимые ошибки. Нелинейными оказываются  производственные функции, функции  спроса и т.д.

    Для оценки параметров нелинейных моделей, как правило, используют линеаризацию модели, которая заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными. Если не удается подобрать соответствующее линеаризующее преобразование, то применяют методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных. 

    Различают два класса нелинейных регрессионных  моделей:

    - модели, нелинейные относительно фактора, но линейные по параметрам;

    - модели нелинейные по параметрам.

    Модели, нелинейные относительно факторов, но линейные по параметрам. Введением новых переменных такую модель можно свести к линейной, для оценки параметров которой используется обычный метод наименьших квадратов.

    Рассмотрим  примеры линеаризующих преобразований:

    1) Полиномиальная модель: .

    Соответствующая линейная модель: , где .

    2) Гиперболическая модель: .

    Соответствующая линейная модель: , где .

    3) Логарифмическая модель: .

    Соответствующая линейная модель: , где . 

    Следует отметить и недостаток такой замены переменных, связанный с тем, что  вектор оценок получается не из условия  минимизации суммы квадратов  отклонений для исходных переменных, а из условия минимизации суммы  квадратов отклонений для преобразованных  переменных, что не одно и то же.  

    Полиномами  второго порядка описывается  зависимость урожайности от количества внесенных удобрений. Гиперболическая  модель может быть использована для  характеристики связей между нормой безработицы и процентом прироста заработной платы (кривая Филлипса). Логарифмическая  модель может быть использована для  описания доли расходов на товары длительного  пользования (кривая Энгеля) в зависимости  от общих сумм расходов. 

    Модели  нелинейные по параметрам. Среди таких моделей выделяют нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели, внутренне нелинейные. Модели внутренне линейные можно привести к линейному виду с помощью соответствующих преобразований.

    Примеры внутренне линейных моделей и  их линеаризация:

    1) Мультипликативная степенная модель: .

    Линеаризующее преобразование:

или

где

    2) Экспоненциальная модель: .

    Линеаризующее преобразование: .

    3) Обратная регрессионная модель: .

    Линеаризующее преобразование: . 

    К моделям, полученным после проведения линеаризующих преобразований можно  применять обычные методы исследования линейной регрессии. Но поскольку в  них присутствуют не фактические  значения изучаемого показателя, то оценки параметров получаются несколько смещенными. При анализе линеаризуемых функций  регрессии, следует особенно тщательно  проверять выполнение предпосылок  метода наименьших квадратов.