Задачи по "Экономике"

Рис.8 

     Затем большую сумму поделим  на меньшую, таким образом найдём  F_расч

F_расч=15,485/8,583=1,804.  F_табл находим на уровне значимости 0,05 со степенями свободы ((п-с-2р):2). Таким образом F_крит=F_0.05;2;2=19,00

F_расч<F_крит > остатки гомоскедастичны, это значит что третье требование выполнено.

    

     Чтобы проверить соответствие  ряда значений остаточной компоненты  нормальному закону распределения,  нужно подсчитать R/S_расч.

R/S_расч= ,  где S_e=

S_e= = 2.23 R/S_расч= =2,91

Так как  R/S_расч (2,7;3,7), то остаточная компонента распределена по нормальному закону и значит четвёртое требование выполнено.

Все предпосылки  МНК выполнены. 

4) Чтобы осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, нужно сравнить t_расч и t_крит. Значение t_крит зависит от принятого уровня значимости (в данном случае a=0,05) и от числа степеней свободы (п-р-1), где п-число единиц совокупности,  р-число факторов.

     В нашем случае t_{расч a0}=-0.37, а t_крит=t_0.05;7=2,3646, так как t_расч<t_крит, то коэффициент a₀ является статистически незначимым,  t_{расч а1}=34,515>t_крит, поэтому коэффициент а₁ является статистически значимым, надёжным, на него можно опираться в анализе и прогнозе. 

5) Чтобы вычислить коэффициент детерминации воспользуемся формулой: . Для этого произведём необходимые расчёты (рис.9)

№ п/п	x	y
1	25	56	243,36	1361,61
2	28	60	158,76	1082,41
3	29	68	134,56	620,01
4	36	85	21,16	62,41
5	37	86	12,96	47,61
6	43	99	5,76	37,21
7	51	115	108,16	488,41
8	51	118	108,16	630,01
9	52	117	129,96	580,81
10	54	125	179,56	1030,41
Итого:	406	929	1102,4	5940,9
среднее	40,6	92,9	-	-
s2	122,48	660,08	-	-

Рис.9 

s_x²=   s_y²=

Исходя  из этого найдём коэффициент детерминации: 0,99

Это означает, что 99% вариации объёма выпуска продукции (у) объясняется вариацией фактора  х – объёмом капиталовложений.

     Проверка значимости уравнения  регрессии с помощью F-критерия Фишера состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического F_крит значений F-критерия Фишера. F_факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

F_факт= , где п- число единиц совокупности.

F_крит – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости a.

 F_факт = =792

F_крит=F_0,05;1;8=5,32 F_факт>F_крит

     Следовательно, гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надёжность. Значит уравнение значимо и может быть перенесено для прогнозирования на любой объект генеральной совокупности.

     Найдём величину средней ошибки  аппроксимации  :

=   Произведём необходимые расчёты (рис.10) 

№ п/п	x	y	ei	Аi
1	25	56	-0,807	1,440
2	28	60	-3,748	6,246
3	29	68	1,939	2,851
4	36	85	2,743	3,227
5	37	86	1,429	1,662
6	43	99	0,547	0,553
7	51	115	-1,962	1,706
8	51	118	1,038	0,879
9	52	117	-2,276	1,945
10	54	125	1,097	0,877
Итого:	406	929	0	21,387

Рис.10 

Следовательно, = 21,387:10 2,1%

Качество  построенной модели оценивается  как хорошее, так как  не превышает 8 – 10%. <5%, поэтому модель точна и по ней можно прогнозировать с достаточно высокой вероятностью. 

6) Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Точечный прогноз получается подстановкой в модель прогнозного значения фактора х.

y_np=a₀+a₁x_np

x_пр=х_max*0.8 

x_пр=54*0,8=43,2

Для получения  интервального прогноза найдём ширину доверительного интервала.

U_пр=S_e*t_кр* , где S_e= ,  t_кр=t_табл=t_0.1;n-2 

Произведём  необходимые расчёты (рис.11) 
 

№ п/п	x	y
1	25	56	243,36
2	28	60	158,76
3	29	68	134,56
4	36	85	21,16
5	37	86	12,96
6	43	99	5,76
7	51	115	108,16
8	51	118	108,16
9	52	117	129,96
10	54	125	179,56
Итого:	406	929	1102,4
среднее	40,6	92,9

Рис.11 

t_кр= t_табл=t_0.1;8 1,85

S_e= 2.23;    (43,2-40,6)²=6,76

U_пр=2,23*1,85* 4,3

Следовательно, интервальный прогноз будет выглядеть:

94,92  

7) Представим графически: фактические и модельные значения  у, точки прогноза (рис.12) 

Рис.12 

8) Уравнение гиперболической модели у=а+b линеаризуется при замене: z= . Тогда у=a+bz. Для расчётов используем данные в табл.13

№ п/п	x	y	z	yz
1	25	56	0,0400	2,24
2	28	60	0,0357	2,1429
3	29	68	0,0345	2,3448
4	36	85	0,0278	2,3611
5	37	86	0,0270	2,3243
6	43	99	0,0233	2,3023
7	51	115	0,0196	2,2549
8	51	118	0,0196	2,3137
9	52	117	0,0192	2,25
10	54	125	0,0185	2,3148
Итого:	406	929	0,2652	22,84889
среднее	40,6	92,9	0,026522	2,284889
s2	122,48	660,08	0,0000616

Табл.13

Значения параметров регрессии а и b составили:

b= -2907.6

a= 92.9-(-2907.6)*0.026522 170

Получено уравнение:

График построенной  модели представлен на рис.14 
 

Рис.14 
 

 
 

     Построению степенной модели  y=ax^b предшествует процедура линеаризации переменных. В данном примере линеаризация производится путём логарифмирования обеих частей уравнения:

lg y=lg a+b*lg x

Y=С+b*X,  где Y=lg y, X=lg x, С=lg a

Для расчётов используем данные таблицы 15

 

№ п/п	x	y	Y	X	YX	(Xi-Xcp)^2
1	25	56	1,7482	1,3979	2,4439	0,0380
2	28	60	1,7782	1,4472	2,5733	0,0212
3	29	68	1,8325	1,4624	2,6799	0,0170
4	36	85	1,9294	1,5563	3,0028	0,0013
5	37	86	1,9345	1,5682	3,0337	0,0006
6	43	99	1,9956	1,6335	3,2598	0,0016
7	51	115	2,0607	1,7076	3,5188	0,0131
8	51	118	2,0719	1,7076	3,5379	0,0131
9	52	117	2,0682	1,7160	3,5490	0,0152
10	54	125	2,0969	1,7324	3,6327	0,0195
Итого:	406	929	19,5161	15,9290	31,2316	0,1408
среднее			1,9516	1,5929	3,1232
s2				0,0156