Многофакторный корреляционный анализ

Однако необходимо отметить, что парные коэффициенты корреляции получены при условии  воздействия других факторов на результат. Чтобы абстрагироваться от их влияния  и получить количественную характеристику связи между результативным и факторными показателями в чистом виде, рассчитываются частные коэффициенты корреляции (табл. 7.7). 

При сравнении частных  коэффициентов корреляции с парными  видно, что влияние других факторов на тесноту связи между уровнем  рентабельности и исследуемыми факторами  довольно значимое: частные коэффициенты корреляции намного ниже парных. Это  говорит о том, что факторы, которые  входят в данную корреляционную модель, оказывают на рентабельность не только непосредственное влияние, но и косвенное. Поэтому взаимосвязи, очищенные  от влияния сопутствующих факторов, получились менее тесными. В некоторых  случаях они могут оказаться  более тесными, если исключить влияние  факторов, которые действуют в  противоположном направлении. По этой причине может измениться не только величина коэффициента корреляции, но и направление связи: в общем  виде связь может быть прямой, а  в чистом — обратной, и наоборот. Объясняется это тем, что при  расчете парных коэффициентов корреляции изучается взаимосвязь между  результативным и факторным показателем  с учетом их взаимодействия и с  другими факторами. Например, с повышением уровня оплаты труда рентабельность увеличивается, если темпы роста  производительности труда обгоняют темпы роста его оплаты. Поэтому  в общем виде взаимосвязь между  уровнем рентабельности и уровнем  оплаты труда будет прямой. Если взять непосредственную связь между  этими показателями при условии  неизменности производительности труда  и других факторов, то получится, что  при повышении оплаты труда рентабельность понижается. Здесь уже обратная зависимость  и частный коэффициент корреляции будет со знаком минус. 
 
 

Таким образом, с  помощью парных и частных коэффициентов  корреляции можно получить представление  о тесноте связи между изучаемыми явлениями в общих и непосредственных соприкосновениях. 

Значительный интерес  представляют коэффициенты корреляции, характеризующие взаимосвязь факторов между собой. Как уже отмечалось, в корреляционную модель надо подбирать  независимые между собой факторы. Если коэффициент корреляции двух факторов выше 0,85, то один из них необходимо исключить  из модели. Исследование матрицы коэффициентов  корреляции позволяет сделать вывод, что в данную модель включены факторы, не очень тесно связанные между  собой. 

При изучении тесноты  связи надо иметь в виду, что  величина коэффициентов корреляции является случайной, зависящей от объема выборки. Известно, что с уменьшением  количества наблюдений надежность коэффициентов  корреляции падает, и наоборот, при увеличении количества наблюдений надежность коэффициентов корреляции возрастает. 

Значимость коэффициентов  корреляции проверяемся по критерию Стьюдента: 
 
 

где  - среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции, которая  определяется по формуле: 
 
 

Если расчетное  значение ( выше табличного, то можно сделать заключение о том, что величина коэффициента корреляции является значимой. Табличные значения t находят по таблице значений критериев Стьюдента. При этом учитываются количество степеней свободы (V = п — 1)и уровень доверительной вероятности (в экономических расчетах обычно 0,05 или 0,01). В нашем примере количество степеней свободы равно: п — 1 = 40 - 1 = 39. При уровне доверительной вероятности Р = 0,05; t = 2,02. Поскольку (фактическое (табл. 7.8) во всех случаях выше t-табличного, связь между результативным и факторными показателями является надежной, а величина коэффициентов корреляции - значимой.    
 
 

Следующий этап корреляционного  анализа —расчет уравнения связи (регрессии). Решение проводится обычно шаговым способом. Сначала в расчет принимается один фактор, который оказывает наиболее значимое влияние на результативный показатель, потом второй, третий и т.д. И на каждом шаге рассчитываются уравнение связи, множественный коэффициент корреляции и детерминации, F-отношение (критерий Фишера), стандартная ошибка и другие показатели, с помощью которых оценивается надежность уравнения связи. Величина их на каждом шаге сравнивается с предыдущей. Чем выше величина коэффициентов множественной корреляции, детерминации и критерия Фишера и чем ниже величина стандартной ошибки, тем точнее уравнение связи описывает зависимости, сложившиеся между исследуемыми показателями. Если добавление следующих факторов не улучшает оценочных показателей связи, то надо их отбросить, т.е. остановиться на том уравнении, где эти показатели наиболее оптимальны. 

Сравнивая результаты на каждом шаге (табл.7.9), мы можем сделать  вывод, что наиболее полно описывает  зависимости между изучаемыми показателями пятифакторная модель, полученная на пятом шаге. В результате уравнение  связи имеет вид: 
 
 
 
 

Коэффициенты уравнения  показывают количественное воздействие  каждого фактора на результативный показатель при неизменности других. В данном случае можно дать следующую  интерпретацию полученному уравнению: рентабельность повышается на 3,65 % при  увеличении материалоотдачи на 1 руб.; на 0,09 % - с ростом фондоотдачи на 1 коп.; на 1,02 %-с повышением среднегодовой выработки продукции на одного работника на 1 млн руб.; на 0,052 %- при увеличении удельного веса продукции высшей категории качества на 1 %. С увеличением продолжительности оборота средств на 1 день рентабельность снижается в среднем на 0,122 %. 

Коэффициенты регрессии  в уравнении связи имеют разные единицы измерения, что делает их несопоставимыми, если возникает вопрос о сравнительной силе воздействия  факторов на результативный показатель. Чтобы привести их в сопоставимый вид, все переменные уравнения регрессии  выражают в долях среднеквадратического  отклонения, другими словами, рассчитывают  стандартизированные коэффициенты регрессии. Их еще называют бетта-коэффициентами по символу, который принят для их обозначения (р). 

Бетта-коэффициенты и коэффициенты регрессии связаны следующим отношением: 
 
 

Бетта-коэффициенты показывают, что если величина фактора увеличится на одно среднеквадратическое отклонение, то соответствующая зависимая переменная увеличится или уменьшится на долю своего среднеквадратического отклонения. Сопоставление бетта-коэффициентов позволяет сделать вывод о сравнительной степени воздействия каждого фактора на величину результативного показателя. В нашем примере наибольшее влияние на уровень рентабельности оказывают материа-лоотдача, фондоотдача и производительность труда (табл. 7.10). 

По аналогии можно  сопоставить и коэффициенты эластичности, которые рассчитываются по формуле: 
 
 

Коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов  в среднем изменяется функция  с изменением аргумента на 1 %. 
 
 

Согласно данным табл. 7.10, рентабельность возрастает на 0,374% при увеличении уровня материалоотдачи на 1%, на 0,308 % - при повышении фондоотдачи на 1 % и т.д.

7.4. Методика оценки  и практического применения результатов  корреляционного анализа 

Необходимость оценки уравнения связи. Показатели, которые  применяются для оценки уравнения  связи. Методика их расчета и интерпретация. Использование уравнения связи  для оценки деятельности предприятия, определения влияния факторов на прирост результативного показателя, подсчета резервов и планирования его  уровня. 

Для того чтобы убедиться  в надежности уравнения связи  и правомерности его использования  для практической цели, необходимо дать статистическую оценку надежности показателей связи. Для этого  используются критерий Фишера (F-отношение), средняя ошибка аппроксимации (е), коэффициенты множественной корреляции (R) и детерминации (D). 

Критерий Фишера рассчитывается следующим образом: 
 
 

где Yхi- индивидуальные значения результативного показателя, рассчитанные по уравнению; Yx - среднее значение результативного показателя, рассчитанное по уравнению; Yi - фактические индивидуальные значения результативного показателя; т - количество параметров в уравнении связи,, учитывая свободный член уравнения;  п — количество наблюдений (объем выборки). 

Фактическая величина F-отношения сопоставляется с табличной  и делается заключение о надежности связи. В нашем примере величина F-отношения на пятом шаге равна 95,67. F-теоретическое рассчитано по таблице  значений F. При уровне вероятности  Р = 0,05 и количестве степеней свободы (m—  1)/(n - m) = (6 - 1)/(40 - 6) = 5/34 оно будет составлять 2,49. Поскольку Fфакт > Fтабл, от гипотеза об отсутствии связи между рентабельностью и исследуемыми факторами отклоняется. 

Для статистической оценки точности уравнения связи  используется также средняя ошибка аппроксимации: 
 
 

Чем меньше теоретическая  линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической (эмпиричной), тем меньше средняя ошибка аппроксимации. В нашем примере она составляет 0,0364, или 3,64 %. Учитывая, что в экономических  расчетах допускается погрешность 5-8 %, можно сделать вывод, что исследуемое  уравнение связи довольно точно  описывает изучаемые зависимости. 

О полноте связи  можно судить также по величине множественных  коэффициентов корреляции и детерминации. В нашем примере на последнем  шаге R = 0,92, a D = 0,85. Это значит, что вариация рентабельности на 85 % зависит от изменения исследуемых факторов, а на долю других факторов приходится 15 % вариации результативного показателя. Значит, в корреляционную модель рентабельности удалось включить наиболее существенные факторы. 

Следовательно, данное уравнение можно использовать для  практических целей: 

а) оценки результатов  хозяйственной деятельности; 

б) расчета влияния  факторов на прирост результативного  показателя; 

в) подсчета резервов повышения уровня исследуемого показателя; 

г) планирования и  прогнозирования его величины.  

Оценка деятельности предприятия по использованию имеющихся  возможностей проводится сравнением фактической  величины результативного показателя с теоретической (расчетной), которая  определяется на основе уравнения множественной  регрессии. В нашем примере (см. табл. 7.5) на предприятии №1 материалоотдача (х1) составляет 2,4 руб., фондоотдача (х2) - 80 коп., производительность труда (х3) - 8 млн руб., продолжительность оборота оборотных средств (х4) - 25 дней, удельный вес продукции высшей категории качества (х5) - 25 %. Отсюда расчетная величина рентабельности составит: 
 
 

Она превышает фактическую на 0,36 %. Это говорит о том, что данное предприятие использует свои возможности несколько хуже, чем в среднем все исследуемые предприятия. 
 
 

Влияние каждого  фактора на прирост (отклонение от плана) результативного показателя рассчитывается следующим образом: 
 
 

В связи с тем что план был недовыполнен по всем факторным показателям (табл. 7.11), уровень рентабельности понизился на 2,09 %. 

Подсчет резервов повышения  уровня рентабельности проводится аналогичным  способом: резерв прироста каждого  факторного показателя умножается на величину соответствующего коэффициента регрессии: 
 
 

Если предприятие  достигнет запланированного уровня факторных показателей (табл. 7.12), то рентабельность повысится на 3,08 %, в  том числе за счет роста материалоотдачи на 1,09 %, фондо-отдачи - на 0,45 % и т.д. 

Так определяют резервы  при условии прямолинейной зависимости, когда она отражается уравнением прямой. При криволинейных зависимостях между исследуемыми показателями, которые  описываются уравнением параболы, гиперболы  и другими функциями, для определения  величины резерва роста (снижения) результативного  показателя необходимо в полученное уравнение связи подставить сначала  фактический уровень факторного показателя, а затем возможный (прогнозный) и сравнить полученные результаты. 

Например, нужно определить резерв увеличения среднечасовой выработки  рабочих, если их средний возраст  снизится с 45 до 40 лет. Используя уравнение  параболы (см. с. 135), сначала рассчитаем среднюю выработку фактическую: 

Yф=-2,67 + 4,424 х 4,5 - 0,561 х 4,52 = 5,87 млн руб.,