Контрольная работа по "Финансовая математика"

      .

     Т.к. уровни независимы.

     Проверка  соответствия ряда остатков нормальному распределению  определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

      ,

     где – максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

      - минимальное  значение уровней ряда остатков  E(t) (гр.3 табл. 5);

     S-среднее квадратическое отклонение.

     

     

     Полученное  значение RS сравниваем с табличными значениями, которые зависят от количества точек N и уровня значимости. Для N=16 и 5%-го уровня значимости значение RS для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21.

     Т.к. 3,00<4,17<4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

     Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены.

     4) Точечный прогноз на 4 шага вперед.

     Составим  прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t =20). Максимальное значение t, для которого можно рассчитать коэффициенты a(t) и b(t) определяются количеством исходных данных (N=16). При помощи уже известных значений a(16) и b(16) (табл. 4)можем рассчитать прогнозные значения экономического показателя Y_p(t) по формуле

     Для t=17:

Аналогично находим  Y_p(18), Y_p(19) и Y_p(20):

     5) График.

     Построим  график с фактическими, расчетными и прогнозными данными.

Рис 1. Сопоставление фактических Y(t) и расчетных Yp(t) данных

     На  рисунке проводится сопоставление  фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения стоимости кредита на жилищное строительство на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

 

      Задание 2.

     Даны  цены (открытия, максимальная, минимальная  и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

     - экспоненциальную скользящую среднюю;

     - момент;

     - скорость изменения цен;

     - индекс относительной силы;

     - %R, %K и %D.

     Расчеты проводить для всех дней, для которых  эти расчеты можно выполнить  на основании имеющихся данных.

     Таблица 6

     Исходные  данные

 

Решение.

     Экспоненциальная  скользящая средняя (ЕМА) рассчитывается по формуле:

     

     где

     С_t - цена закрытия t-го дня;

     EMA_t – значение EMA текущего дня t.

     Вычислим простую среднюю за 5 дней:

     

     Рассчитаем  ЕМА для 6,7,8,9 и 10 дней:

     

     

     

     

     

     Скользящая  средняя МА рассчитывается как средняя арифметическая цен за определенное количество предшествующих дней по формуле:

     

     где С_t – цена закрытия t-го дня;

     MA_t – значение скользящего среднего текущего дня t.

     Таблица 7

     Расчеты ЕМА и МА

       

     

     Рис. 2.График ЕМА 

     Момент (МОМ) рассчитывается как разница конечной цены текущего дня С_t и цены n дней тому назад С_{t - n}..

     

     где С_t – цена закрытия t-го дня;

     МОМ_t – значение МОМ текущего дня t.

     Произведем  расчеты по формулам:

     

     

     

     

     

     Результаты  представлены в таблице:

     Таблица 8

     Расчет  МОМ

     

 

     

     Рис. 3.График МОМ 

     Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные - о снижении. Движение графика МОМ вверх из зоны отрицательных в зону положительных значений в точке пересечения нулевой линии (конец 8-го – начало 9-го дней) дает сигнал к покупке.

     Скорость  изменения цен (ROC) рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

     

     где - цена закрытия t-го дня;

      - значение ROC текущего дня t.

     Рассчитаем  значения по формулам:

     

     

     

     

     

     Результаты  расчетов в таблице:

     Таблица 9

     Расчет  ROC

     

 

     

     Рис. 4.График ROC

     ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Для принятия решения о купле или продаже используется уровень 100%. При пересечении этого уровня снизу вверх надо покупать, а при пересечении сверху вниз - продавать акции. В нашем случае, показатель ROC указывает на восходящий тренд цены акции на 9-ый день.

     Индекс  относительной силы (RSI).

     Для расчета RSI применяют формулу:

     

     где – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

      - сумма  убыли конечных цен за n последних дней.

     Значения  RSI изменяются от 0 до 100. Этот индикатор может подавать сигналы либо одновременно с разворотом цен, либо с опережением.

     Сигналом  к продаже акций служит момент выхода графика RSI из зоны перекупленности (80-100%), а к покупке - момент выхода графика RSI из зоны перепроданности (0-20%).

     Рассчитаем  все приросты AU и убыли AD в течение 5 дней из разности цен двух ближайших дней по формуле: dUt=Сt- Сt-1.

     С учетом DUt рассчитаем суммы прироста и убыли за последние 5 дней для каждого дня, начиная с 6 –го.

     Рассчитаем  RSI (табл.10):

     Таблица 10

     Расчет  RSI

     

 

     

     Рис. 5.График RSI 

     Значение RSI на 8 день было близко к зоне перепроданности, что и послужило причиной разворота тренда. На 9 день – обратная ситуация. Стохастические линии.

     

     где - значение индекса текущего дня t;

      - цена  закрытия текущего дня t;

       и  - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

     

     где - значение индекса текущего дня t;

      - цена  закрытия текущего дня t;

       и  - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

     Смысл стохастических индексов состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной цене (%К принимает большие значения, а %R – маленькие), а при падении цен – ближе к минимальной (%К принимает маленькие значения, а %R – большие). Индексы %R и %K проверяют, куда больше тяготеет цена закрытия. При расчете %К разность между ценой закрытия текущего дня и минимальной ценой за 5 дней сравнивают с размахом цен за эти же 5 дней. В случае расчета %R с размахом сравнивают разность между максимальной ценой за 5 дней и ценой закрытия.

     Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины и сглаживают, беря их трехдневную сумму.

     

     Расчеты представлены в таблице:

     Таблица 11

     Расчет  %К,%R,%D

 

     

     Рис. 6.График %К,%R,%D

     График  показывает, что на 9 день происходит рост цен (%К принимает большие значения, а %R – маленькие), а на 10 день - падении цен (%К принимает маленькие значения, а %R – большие).

     Значения  индикаторов указывают на нисходящий тренд.