Налоги и нфляция

     Лекция  НАЛОГИ И ИНФЛЯЦИЯ 

     1 Доходность финансовой операции

     2 Учет налогов 

     3 Индекс цен и темп инфляции

     4 Методы учета инфляции в финансовых  расчетах

     5 Наращение и конверсия валюты 

     1 Доходность финансовой  операции 

     Определение 1. Финансовой называется операция, начало и конец которой характеризуются денежными суммами P(0) и P(T ) соответственно, а цель которой - наращение суммы вложенных средств P(0).

     В определении под P(0) понимают реально вложенные средства в момент t = 0, под P(T ) – реально вырученные денежные средства в результате операции, срок которой T единиц времени. Эффект от вложения естественно измерять в виде процентной ставки наращения, которую в этом случае называют доходностью.

     Определение 2. Ставка простых или сложных процентов, с помощью которой измеряют эффективность финансовой операции, называется доходностью финансовой операции за единицу времени.

     Согласно  определению, доходность финансовой операции за единицу времени - это положительное  число  , удовлетворяющее равенству:

     P(0)(1 + T) = P(T)  (1)

     или

     P(0)(1 + )^T = P(T).  (2)

     Если  время измеряется в годах, то -среднегодовая доходность операции.

     Таким образом, финансовой операции ставится в соответствие эквивалентная операция наращения суммы P(0) по ставке в течение времени T. Такой подход позволяет сравнить полученное значение доходности с доходностями по альтернативным вложениям средств.

     Кроме того, можно говорить о доходности за весь срок операции [0, T], определяемой как положительное число r, удовлетворяющее равенству

     P(0)(1 + r) = P(T ). (3)

     Отсюда 

     

.

     Здесь r показывает эффект от вложения, приходящийся на 1 единицу вложенных средств. Этот вид доходности применяется, например, при оценке инвестиций в ценные бумаги.

     Налоги  и инфляция заметно влияют на эффективность  финансовой операции. 

     2 Учет налогов  

     Налог начисляется, как правило, на проценты, получаемые при размещении денежной суммы в рост. Предположим, на сумму в течение времени n начислялись проценты по ставке i, g -ставка налога на проценты. Тогда величина процентов

     I =

– ,

     а сумма налога G_n = g I. Наращенная сумма после выплаты налога составляет

     P(n) =

– G_n.

     Так как P(n)< , то учет налогов фактически сокращает ставку наращения. Итак,

     P(n) =

– G_n= – g I = – g ( – ) = (1 – g)+ g _.

     Если  i -простая процентная ставка, то = (1 + in). Тогда

     P(n) =

(1 + i(1 – g)n).

     Видим, что фактически наращение производится по ставке i(1 – g)<i. 

     Если  i – сложная процентная ставка, то = (1 + i)ⁿ.

     Здесь возможны два варианта расчета:

     – определение налога за весь срок сразу;

     – расчет процентов за каждый год в отдельности.

     Первый  удобен, когда налоговая ставка в  пределах облагаемого налогом периода  остается неизменной, второй – налоговая  ставка из года в го меняется.

     В 1-ом варианте наращенная сумма после  выплаты налога рассчитывается по формуле

     P(n) =

.

     Во 2-ом варианте сумма налога рассчитывается за каждый истекший год. В этом случае сумма процентов из года в год  возрастает, и соответственно изменяется сумма налога. Сумма налога определяется из рекуррентного соотношения

     

.

     Если  налоговая  ставка постоянна, то сумма  налогов за весь срок, рассчитанная первым способом равна сумме налогов, рассчитанных за соответствующие годы вторым способом.

     Пример. При выдаче кредита на 2 года под годовую сложную процентную ставку 0,08 кредитор удерживает комиссионные в размере 0,5% от суммы кредита. Ставка налога на проценты 10%. Какова доходность операции для кредитора?

     Решение. Если - сумма кредита, а FV – сумма погашаемого долга, то

     

= (1 + i)ⁿ,

     где i = 0,08 , n = 2. Сумма комиссионных c , где c = 0,005. Тогда сумма, фактически выданная в долг, составит P(0) = (1 – c). После выплаты налога у кредитора останется

     P(n) =

((1 + i)ⁿ(1 – g) + g),

     где g = 0,1 - ставка налога. Уравнение доходности имеет вид

     P(n) = P(0)(1 +

)ⁿ.

     Разрешая  это уравнение относительно , получим

     

 или 7,5%.

     Заметим, что без учета налога (g = 0) доходность операции составила бы 0,08271 или 8,3%. 

     3 Индекс цен и темп инфляции 

     Инфляция – обесценение денег, проявляющееся в росте цен на товары и услуги, что влечет за собой снижение покупательной способности денег.

     Инфляцию  характеризуют два количественных показателя – индекс цен и темп инфляции. Предположим, выбрана единица  времени. Рассмотрим отрезок времени [0, t], длина которого t единиц времени от начального момента t = 0.

     Индекс  цен за время [0, t] - число

     

,

     показывающее  во сколько раз выросла стоимость  потребительской корзины за период времени [0, t].

     Темп  инфляции за время [0, t] - число

     

,

     показывающее  на сколько процентов выросла  стоимость потребительской корзины  за период времени [0, t]. Здесь , – стоимость потребительской корзины вначале и в конце финансовой операции. Так как , то соотношения между темпом инфляции и индексом цен имеют вид:

     H(t) = J(t)–1   (4)

     и  

     J(t) =1 +H (t)  (5) 

     для любого периода времени[0, t].

     Пусть ,где [0, t₁], … , [t_n-1, t_n] - отрезки времени в сроке [0, t] (t₀ = 0, t_n = t ), длины которых t₁, (t₂ –t₁),…,(t_n –t_{n – 1}) единиц времени. И пусть j(0, t₁),…, j(t_{n – 1}, t_n) и h(0, t₁),…, h(t_{n – 1}, t_n) – индексы цен и темпы инфляции за периоды[0, t₁], … , [t_n–1, t_n] соответственно. Согласно (5), имеем: 

     j(t_{k – 1}, t_k) = 1 + h(t_{k – 1}, t_k), k = 1,2,…,n.

     Здесь h(t_{k – 1}, t_k) - темп инфляции за(t_k–t_{k – 1}) единиц времени за период [t_k–1, t_k]. Индекс цен j(t_k–1, t_k) за период [t_k–1, t_k] показывает, во сколько раз увеличились цены за этот период по отношению к уровню цен предыдущего периода.

     Тогда получаем следующие соотношения  для индекса цен и темпа  инфляции за время[0, t]: 

     J(t) = j(0, t₁) j(t₁, t₂)… j(t_{n – 1}, t_n),   (6) 

     J(t) = (1 + h(0, t₁))(1 + h(t₁, t₂))…(1 + h(t_{n – 1}, t_n)),   (7) 

     1 +H (t) =(1 + h(0, t₁))(1 + h(t₁, t₂))…(1 + h(t_{n – 1}, t_n)).    (8) 

     Пусть j_k и h_k-индекс цен и темп инфляции за 1 единицу времени на временном отрезке [t_k–1, t_k]. Тогда

     j_k = 1 + h_k , k = 1,2,…,n,

     а индекс цен за период[t_k–1, t_k] равен

     j(t_{k – 1}, t_k) =

, k = 1,2,…,n.

     Согласно (6)

     J(t) =

.

     Тогда

     J(t) = ,   (9) 

     1 +H(t) = . (10) 

     Если h₁ =h₂ = …. = h_n =h, то  

     J(t) = (1 + h)^t    (11) 

     1 +H (t) = (1 + h)^t .   (12) 

     Здесь h - темп инфляции за 1 единицу времени на временном отрезке [0, t],J(t) и H (t)- индекс цен и темп инфляции за период времени [0, t].

     Предположим, за n единиц времени получена наращенная сумма вклада FV. Индекс цен за период [0, n] вырос до значения J(n). Тогда реальная сумма вклада вследствие снижения покупательной способности денег составит

     P(n) =

.

     Индекс  цен J(n) рассчитывается по одной из приведенных выше формул в зависимости от исходных данных. Так как J(n) > 1, то P(n) < , что означает фактическое снижение ставки наращения.

     Пример. Ожидаемый годовой темп инфляции первых двух лет вклада составляет 3%, а следующих трех - 4%. Какую минимальную годовую ставку сложных процентов должен предложить банк клиенту, чтобы реальная годовая доходность вклада была не меньше 8% ?

     Здесь t = 0 - момент размещения вклада, 1 год - единица измерения времени, срок вклада n = 5 лет. h₁ = 0,03 и h₂ = 0,04 – среднегодовые темпы инфляции на временных отрезках [0,2], [2,5]. Для доходности по вкладу должно быть выполнено условие: ≥ 0,8. Пусть i - годовая сложная процентная ставка, под которую размещена сумма P₀. Тогда наращенная сумма вклада через n лет = (1 + i)ⁿ. С учетом инфляции реальная сумма вклада составит P(n) = , где индекс цен согласно (9) равен

     J(n) =(1 + h₁ )²(1 + h₂ )³.

     Уравнение доходности имеет вид:

     P(n) =

(1 + )ⁿ .

     Разрешая  это уравнение относительно и учитывая требуемое условие для доходности, получим:

     

.

     Отсюда  i ≥ 0,11887. Значит, минимальная процентная ставка размещения вклада составляет 0,11887 против 0,08 без учета инфляции. 

     4 Методы учета инфляции  в финансовых расчетах