Обработка результатов центрифугирования пород с использованием математического моделирования

Обработка результатов центрифугирования  пород с использованием математического  моделирования

 

      Борисов.А.Г. (ТюменНИИгипргаз). 

      Аннотация

      Несмотря  на большую популярность центрифугирования, как способа исследования капиллярных  характеристик пород, остается нерешенной проблема их достоверности. Низкое качество кривых капиллярного давления (ККД) получаемых методом центрифугирования в первую очередь обязано сложностью процессов протекающих в образце и примитивностью методов обработки, которые используются лабораториями. Также, свой вклад в искажение вносит использование центрифуг с наклонным ротором, в то время как все существующие на данный момент методики ориентированы на горизонтальный ротор. Разработанный автором, метод трехмерного математического моделирования, позволяет повысить качество получаемых ККД и решить проблему использования наклонного ротора.  

      Ключевые  слова: капиллярное давление, моделирование, метод, центрифуга, лаборатория, интерпретация, остаточная водонасыщенность 

      Введение 

      В настоящее время  центрифугирование пород, весьма распространено как способ получения ККД. Однако не всегда ККД полученные на ультрацентрифуге совпадают  с кривыми полученными на капилляриметре[7]. Отличительными свойствами ККД получаемых центрифугированием являются: выраженная гиперболическая форма и отсутствие четкого выхода на остаточную водонасыщенность (Кво). Причиной этого как правило являются упрощенные методы обработки результатов центрифугирования которые заключаются в сопоставлении частоты вращения с некоторым расчетным капиллярным давлением [1,2]. При этом не учитывается, что одни и те же капилляры способны в разной степени удерживать флюид (воду) на разных частотах вращения. Зачастую удается откалибровать центрифугу по данным капилляриметрии, однако эту операцию необходимо выполнять по каждому виду отложений, что невыгодно исследовательским лабораториям и потому практически не выполняется.

      Разработанные зарубежными исследователями: Хасслером, Брунером, Форбсом, Хоффманом, Бентсеном  и др. дифференциальные и интегральные методы позволяют существенно улучшить ситуацию. Однако практически все эти методы одномерны (т.е. образец породы представляется в виде бесконечно тонкого цилиндра), что не позволяет учитывать радиальные и гравитационные эффекты. Другим недостатком их является различные математические упрощения, к которым прибегают авторы для облегчения дифференциально- интегральных операций.

      Еще одна проблема заключается в том, что на постсоветском пространстве весьма распространены центрифуги с наклонными роторами. При этом ни один из ныне существующих методов обработки не позволяет учесть наклон образца. Последнее вносит существенные искажения в форму получаемых ККД.

      Для решения этих проблем автором было использовано математическое моделирование. Главным преимуществом ячеечного моделирования является то, что его возможности не исчерпываются одномерными и двухмерными решениями, а позволяют  создать полноценную трехмерную модель образца. Последнее позволяет моделировать центрифугирование наклонных, и даже вертикальных образцов.  

      Физические  основы моделей

      Принципиальные  отличия метода центрифугирования  от метода полупроницаемой мембраны детально описаны Л.И. Орловым [8]. Главные отличия состоят в том, что при центрифугировании на каждой частоте одновременно дренируется широкий диапазон капилляров, но при этом не происходит их полного дренажа. Также вытесняющее давление в отличие от капилляриметра не постоянно, а уменьшается по мере дренажа и индивидуально для каждого вида капилляров.

      Вытесняющее давление создаваемое в единичном капилляре центробежной и гравитационной составляющими определяется по формуле [6]. 

       ,     (1)

где: ω – угловая скорость, ω=2πn,

      n – частота вращения ротора,

      Δρ – разность плотностей флюидов,

      r₁ – радиус вращения мениска жидкости в капилляре,

      r₂ – радиус вращения конца капилляра,

      g – ускорение свободного падения. 

      При больших частотах вращения, когда  можно упростить (1) до вида[3].

       ,  (2)

      Процесс дренирования образца состоящего из множества капилляров будет выглядеть следующим образом.

      Каждый  капилляр образца имеет собственный  диаметр и собственное капиллярное  давление . На момент начала центрифугирования (рис. 1а) все капилляры образца полностью насыщенны вытесняемым флюидом (водой). В этот момент вытесняющее давление для всех капилляров можно вычислить по формуле (2) приняв, что r₁ одинаков для всех капилляров и равен радиусу вращения входного торца. Однако в последующие моменты времени будет происходить дренирование капилляров для которых , до тех пор пока вытесняющее давление не снизится до уровня капиллярного. Т.е. будет соблюдаться условие

             (3)

      При этом, в каждом капилляре, где произошло дренирование будет свое значение соответствующее его капиллярному давлению (рис. 1б).

          (4) 

      Вытесняющее давление также будет неодинаковым: Для недренированных капилляров оно останется на прежнем уровне, а в капиллярах, где произошел дренаж, оно упадет до уровня капиллярного. В связи с разным значением для разных капилляров, их насыщенность согласно также будет разной. Таким образом, водонасыщенность центрифугируемого образца представляет собой суперпозицию насыщенностей всех его капилляров

         (5)

где:   - насыщенность образца при угловой скорости ;

- насыщенности капилляров при угловой скорости ;

- объемные доли капилляров в образце.

      Зная  насыщенности можно подобрать доли таким образом, чтобы уравнение (5) соблюдалось на каждой скорости, тем самым восстановив истинную форму капиллярной кривой. Для получения насыщенностей капилляров необходимо выполнить математическое моделирование каждого режима с учетом геометрии образца и ротора. Это можно сделать  методом, который описан далее. 
 

      Метод сообщающихся капилляров

      Моделирование производится путем разбивки образца  на множество мелких ячеек кубической формы, в каждой из которых определяется насыщение характерное для конкретного вида капилляров и частоты вращения. При этом использовались следующие представления:

1. В процессе центрифугирования вытесняемая жидкость движется преимущественно в радиальном направлении. Однако при наличии связей между капиллярами она отклоняется от радиального направления и стремится занять положение характеризующееся минимумом потенциальной энергии, подобно воде центрифугируемой в стакане.
2. При вытеснении решающую роль играет максимально удаленная от оси вращения точка образца, которая определяет «высоту столба» жидкости в образце и является точкой максимального стока.

      Вытеснение  по отдельно взятой системе каналов  происходит до уравновешивания центробежной силы капиллярным давлением в этой системе. Т.е. в каждой точке системы каналов, насыщенной вытесняемым флюидом будет соблюдаться условие

         (5)

      где:   - радиус вращения точки;

       - радиус вращения точки максимального  стока.

      А в каждой точке системы каналов, в которой произошло вытеснение соблюдается условие

       .  (6)

      Моделирование выполняется следующими этапами:

1. Определяется точка максимального стока (ТМС) как точка вращающаяся по максимальному радиусу (рис. 2).
2. Определяется максимально возможное вытесняющее давление образце, как вытесняющее давление на максимальной частоте вращения в точке B (рис. 2) максимально приближенной к оси ротора.

     

      где:   - максимальная угловая скорость;

       - радиус вращения точки максимально  приближенной к оси ротора. 

3. Весь диапазон капиллярных давлений каналов от 0 до разбивается на участки. Границы участков рекомендуется установить по логарифмическому либо степенному закону, чтобы с возрастанием капиллярного давления увеличивалась ширина участка. Каждый участок при этом характеризует определенную группу каналов, со средним капиллярным давлением равным полусумме давлений границ.

 

      где:   - средним капиллярное давление группы каналов;

       - верхняя граница участка;

       .- нижняя граница участка; 

4.  Моделируемый образец разбивается на множество элементарных ячеек.
5. Для каждой ячейки образца определяется радиус ее вращения, с учетом положения образца относительно оси (Рис.4).

 

6. Для каждой ячейки вычисляется вытесняющее капиллярное давление (в случае, если бы в ней находилась граница раздела флюидов) по формуле:

           (7)

7. Для каждой группы капилляров с капиллярным давлением подсчитывается количество ячеек удовлетворяющее условию

            (8)

8. Определяется насыщенность капилляров образца как отношение количества ячеек удовлетворяющих условию (8) к общему числу ячеек.

 

      Расчеты повторяются во всем диапазоне скоростей  для получения набора кривых центрифугирования свойственных группам капилляров при данной геометрии образца и ротора. По результатам расчетов строятся кривые центрифугирования капилляров (рис.3). Эти кривые показывают насыщенность капилляров при разных частотах вращения. Как видно из рисунка кривые центрифугирования от различных капилляров имеют сильное перекрытие на широком диапазоне скоростей, потому выделить их из кривой центрифугирования всего образца будет достаточно сложно.

      Метод универсален и может быть использован  для роторов любой конструкции. С его помощью были впервые получены расчетные кривые центрифугирования для наклонных и вертикальных положений образца. Но метод имеет и свои недостатки. Точность расчета сильно зависит от размера ячеек, что особенно сказывается на больших угловых скоростях и для капилляров с малым . Поэтому при моделировании высокоскоростных режимов рекомендуется кратно уменьшать размеры ячеек. 
 

      Влияние наклона образца на результаты исследований

      Центрифуги с наклонным ротором весьма популярны в отечественных лабораториях.  Многие из этих лабораторий применяют для обработки результатов те же формулы, что и для горизонтальных роторов. Однако, как показали результаты моделирования, процесс дренажа наклонных образцов существенно отличается от дренажа горизонтальных[5]. Причиной этого является удаление ТМС (рис.4а) от оси ротора и приближение к ней части капилляров. Это вызывает существенное увеличение вытесняющих давлений. На рис.4б представлены кривые центрифугирования для роторов с различным наклоном. Интересным также является тот факт, что кривые центрифугирования горизонтальных и вертикальных образцов близки друг к другу. Что открывает хорошие перспективы для использования последних в лабораторной практике.  

      Восстановление  истинной формы ККД  с использованием результатов моделирования

      Главным применением разработанных моделей  является возможность восстановления истинной формы ККД по результатам  центрифугирования устранив, таким образом искажения, возникающие при классическим способом (по ОСТ).  Для этого необходимо разложить экспериментальную кривую центрифугирования образца на серию расчетных кривых центрифугирования каналов. Т.е. зная насыщения каналов на каждой скорости надо так подобрать их доли так, чтобы суммарное насыщение совпало с насыщением образца. Это можно сделать путем матричного решения системы из уравнений.