Квадрики в трехмерном пространстве и их классификация

Автор: Пользователь скрыл имя, 01 Декабря 2011 в 15:44, курсовая работа

Описание работы

Трехмерное пространство — геометрическая модель материального мира, в котором мы находимся. Это пространство называется трёхмерным, так оно имеет три измерения — высоту, ширину и длину, то есть трёхмерное пространство описывается тремя единичными ортогональными векторами.

Содержание

Введение ………………………………………………… 1
Типы поверхностей второго порядка………………… 2
Эллипсоид………………………………………………… 6
Однополостный гиперболоид………………………….. 7
Двуполостный гиперболоид …………………………… 8
Эллиптический параболоид. ………………………….... 9
Гиперболический параболоид. ………………………… 10
Гиперболический параболоид. …………………………. 11
Квадрики в евклидовом п-пространстве …………….. 12
10. Лтература………………………………………………….

Работа содержит 1 файл

21.doc

— 749.50 Кб (Скачать)

                        (24.8)

а  Кп , Кп–1, Кп–2,   получаются из выражений Iп–1, Iп–2, Iп–3, окаймлением определителей, входящих в выражения для   Ik , соответствующими коэффициентами линейной формы и свободным членом  с  уравнения квадрики.

      В частности, рассмотрим общее уравнение квадрики в четырехмерном евклидовом пространстве

После нахождения корней характеристического  уравнения  и инвариантов   вид преобразованного уравнения можно определить из следующей таблицы 
 
 
 

 
 
Простейшее  уравнение
 
Условие
1. 
 
2.  
3.  
4.

I3 = 0, K4 ¹ 0

5. I3 = 0, K4 = 0,
6. I3 = 0,  K4 = 0, I2 = 0,  K3 ¹ 0
7. I3 = 0,  K4 = 0, I2 = 0,  K3 = 0,
 

      П р и м е р. Привести уравнение  к каноническому виду и определить вид квадрики в Е4:

 

      Р е ш е н и е.

1. Выпишем  коэффициенты уравнения.

2. Составим  характеристическое уравнение

Разложив  определитель по элементам третьей  строки, найдем:

3. Вычислим  инвариант 

4. Вычисляем  определитель  , который получается из окаймлением его числами

5. Он  равен нулю, поэтому вычисляем инвариант как сумму диагональных миноров третьего порядка матрицы .

= 0

6. Находим  , окаймляя все миноры выражения соответствующими числами 

= 0

(Первый, третий и четвертый определители  содержат нулевую строку, а во втором 1 и 3 строки одинаковы).

7. Далее  находим  как сумму диагональных миноров второго порядка матрицы .

= –8.

Наконец, вычисляем  , окаймляя определители в выражении соответствующими

= 0.

Имеем случай = 0, = 0,  = 0, = 0,  ¹ 0. По таблице находим уравнение или . Это – пара пересекающихся гиперплоскостей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература: 

  1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Учебно-методический комплекс
  2. ГЕОМЕТРИЯ  Учебно-методический комплекс для студентов - заочников, обучающихся по направлению– «Бакалавр физико-математического образования
  3. Атанасян, Л. С. Геометрия : учеб. пособие для студентов ФМК Просвещение, 1986.
  4. Базылев, В. Т. Геометрия. Просвещение, 1974. – 351 с.
  5. Геометрия / М. Е. Деев   Горно-Алтайск .
  6. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике
  7. Погорелов, А. В. Геометрия : учеб. пособие для вузов
  8. Комиссарук, А. М. Аффинная геометрия

Информация о работе Квадрики в трехмерном пространстве и их классификация