Метод площадей

 
 
 
 

Метод 
площадей 

Выполнила ученица 11а класса

МОУ СОШ №4 г.Энгельса

Серанова Анна

Свойства площадей 

1)Для любой фигуры F: S(F)>0 

                                         

  2)Если F¹=F², то S(F¹)=S(F²) 
 

3)Если F=F¹ F², где F¹ F²,тогда

                                                              S(F)=S(F¹)+S(F²)

Приложения к решению 
задач 

Задача 1 

Задача 2 

Задача 7 

Задача 5 

Задача 4 

Задача 3 

Задача 6 

Задача 1 

Задача 2

Задача 1 

Иногда отношения отрезков, расположенных на одной прямой полезно заменить на отношения площадей треугольников, имеющих общую вершину, основаниями которых являются данные отрезки.

Назад 

Дано: AD, B AD, C AD, O AD.

Д-ть: S^AOB:S^COD=AB:CD

Д-во:

• OHAD
• S^AOB=OH*AB/2
• S^COD=OH*CD/2
• S^AOB:S^COD=

=OH*AB/2:OH*CD/2=AB:CD

ч.т.д. 

A          B     H   C            D 

O

Задача 2 

Если отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны делит его на 2 равновеликие части, то он является медианой.

Назад 

Дано: ABC, BM AC, S^ABM=S^CBM.

Д-ть: BM - медиана

Д-во:

• BHAC
• S^ABM=BH*AM/2
• S^CBM=BH*MC/2
• S^ABM=S^CBM=> AM=MC
• BM - медиана

ч.т.д. 

A               M H           C 

B

Задача 3 

Для любой точки К, принадлежащей медиане ВМ треугольника АВС справедливо: S_^ABK=S_^BKC

Назад 

Дано: ABC, BM - медиана, K BM.

Д-ть: S^ABK=S^BKC

Д-во:

• KMAC
• S^AKM=AM*KH/2;

    S^KCM=MC*KH/2

3. AM=MC=>S^AKM=S^KCM

4. S^ABM=S^AKM+S^ABK

    S^BMC=S^KCM+S^{BKC ,}

    S^ABM=S^BMC , S^AKM=S^KCM=>

    S^ABK=S^BKC

ч.т.д. 

A               M H           C 

B 

K

Задача 4 

Пусть О – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника АВСD, тогда BO/OD=S_^ABC/S_^ADC

Назад 

Дано: ABCD, BD AC=O.

Д-ть: S^ABC:S^ADC=BO:OD

Д-во:

• BMAC; DHAC
• S^ABC=BM*AC/2

    S^ADC=DH*AC/2 =>

    S^ABC:S^ADC=BM:DH

3. P/M BOM DOH (прямоугольные)

    BOM=DOH =>BM:DH=BO:OD

4. SABC:SADC=BO:OD

ч.т.д. 

A 

H 

M 

C 

O 

B 

D

Задача 5 

О – точка пересечения диагоналей

выпуклого четырехугольника ABCD.

S_¹*S_³=S_²*S_⁴

Назад 

Дано: ABCD, BD AC=O.

Д-ть: S¹*S³=S²*S⁴

Д-во: