Методы прямоугольников и трапеций

     Методы  прямоугольников  и трапеций. Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой (3.20). В качестве точек ξ_i могут выбираться левые (ξ = x_i-1) или правые (ξ_i = x_i) границы элементарных отрезков. Обозначая f{x_i) = y_i, ∆x_i = h_i, получаем следующие формулы метода прямоугольников соответственно для этих двух случаев:

     ∫ f(x) dx h₁y₀ + h₂y₁ + ... + h_ny_n-1                                                                            (3.24)

      ∫ f(x) dx h₁y₁ + h₂y₂ + ... + h_ny_n                                                             (3.25)

     Широко  распространенным и более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков (в полуцелых узлах):

     ∫ f{x)dx ,                                                                  (3.26)

     X_i-1/2 = (x_i-1 + x_i)/2 = x_i-1 + h_i/2,    i = 1,2,... ,n.

В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм (он еще называется методом средних).

     В рассмотренных методах прямоугольников  используется кусочно постоянная интерполяция: на каждом элементарном отрезке функция f(x) приближается функцией, принимающей постоянные значения (константой). При этом площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) приближенно складывается из площадей элементарных прямоугольников. На рис. 3.2 верхняя, средняя и нижняя горизонтальные штриховые линии относятся к элементарным прямоугольникам, которые соответствуют формулам (3.25), (3.26) и (3.24).

     Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т. е. график функции у = f(x)  представляется в виде ломаной,  соединяющей точки (x_i, y_i). В этом случае площадь всей фигуры приближенно складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций (рис. 3.2). Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

     σ_i = h_i , i=1,2,...,n. 

Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:

     ∫ f{x)dx                                                     (3.27)

                                                                 y                                      (x_i,y_i)          

                                                                     (x_i-1,y_i-1)

                                                                             y_i-1                             y_i

                                                                                               h_iV

                                                                                                                     x

                                                                                     x_i-1      x_i-1/2     x_i   

                                                                      Рис. З.2. Вычисление σ_i в методах

                                                                             прямоугольников и трапеций 

     Важным  частным случаем рассмотренных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом h_i = h = const (i = 1,2,...,n). Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид 

      ∫ f{x)dx ,                                                         (3.28) 

      ∫ f{x)dx ( + ).                                         (3.29)

     Погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения. Уменьшая этот шаг, можно добиться большей точности. Правда, увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится, как правило, ограничиваться данным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. Рассмотрим два таких способа численного интегрирования: использование квадратичной интерполяции (метод Симпсона) и интерполирование с помощью сплайнов. 
 

     Метод Симпсона. Разобьем отрезок интегрирования [а, b] на четное число п равных частей с шагом h. На каждом отрезке [х₀,х₂], [х₂,х₄],... , [х_i-1,х_i+1], ... , [х_n-2,x_n] подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом второй степени:

     f(x) φ_i(x) = a_ix²+bⁱx+c_i,   x_i-1 x x_i+1.

Коэффициенты  этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках х_i, соответствующим табличным данным у_i. В качестве φ_i (х) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки    M_i-1(x_i-1,y_i-1), M_i(x_i,y_i), M_i+1(x_i+1, y_i+1): 

φ_i(x)= y_i-1+ y_i+ y_i+1. 

Сумма элементарных площадей σ_i и σ_i+1 (рис. 3.3) может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства x_i+1 – x_i = x_i - x_i-1 = h, получаем

σ_i + σ_i+1=∫ φ_i(x)dx=1/2h²∫ (x-x_i)(x-x_i+1)y_i-1-2(x-x_i-1)(x-x₊₁)y_i+(x-x_i-1)(x-x_i)y_i+1]dx= 

                                                                                     = h/3(y_i-1+4y_i+y_i+1) 

Проведя такие вычисления для каждого элементарного отреза [х_i-1,х_i+1], просуммируем полученные выражения: 

     S = h/3(y₀+4y₁+2y₂+4y₃+2y₄+...+2y_n-2+4y_n-1+y_n). 

Данное  выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла: 

     ∫f(x)dx h/3[y₀+4(y₁+y₃+...+y_n-1)+2(y₂+y₄+...+y_n-2)+y_n].              (3.30) 

Полученное  соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол.

Эту формулу  можно получить и другими способами, например двукратным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [а, b] на части с шагами h и 2h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций (см. п. 5).

Иногда  формулу Симпсона записывают с применением  полуцелых индексов. В этом случае число отрезков разбиения п произвольно (не обязательно четно), и формула Симпсона имеет вид 

∫ f(x)dx h/6[y₀+4(y_1/2+y_3/2+...+y_n-1/2)+2(y₁+y₂+...+y_n-1)+y_n].                  (3.31) 

Легко видеть, что формула (3.31) совпадет с (3.30), если формулу (3.30) применить для  числа отрезков разбиения 2п и шага h/2. 

Пример. Вычислить по методу Симпсона интеграл I =∫ . 

Значения  функции при п = 10, h = 0.1 приведены в табл. 3.3.

     Применяя  формулу (3.30), находим 

     I=0.1/3[y₀+4(y₁+y₃+y₅+y₇+y₉)+2(y₂+y₄+y₆+y₈)+y₁₀]=...=0.785398. 

     Результат численного интегрирования с использованием метода Симпсона оказался совпадающим с точным значением (шесть значащих цифр).

     Один  из возможных алгоритмов вычисления определенного интеграла по методу Симпсона представлен на рис. 3.4. В  качестве исходных данных задаются границы  отрезка интегрирования [а, b], погрешность ε, а также формула для вычисления значений подынтегральной функции у = f(х). Первоначально отрезок [а, b] разбивается на две части с шагом h = (b — а)/2. Вычисляется значение интеграла 1₁. Потом число шагов удваивается, вычисляется значение 1₂ с шагом h/2. Условие окончание счета принимается в виде | I₁ —1₂ | <  е. Если это условие не выполнено, происходит новое деление шага пополам и т. д.

     Отметим, что представленный на рис. 3.4 алгоритм не является оптимальным: при вычислении каждого приближения I₂ не используются значения функции f(х), уже найденные на предыдущем этапе.