Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применения этих теорем по сра

 – общий угол для и ;

 как соответственные  углы, образованные при пересечении  параллельных прямых  и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

 

И, значит, 

 

2. Рассмотрим и . 

 как вертикальные углы;

 как накрест лежащие  углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

 

Но, так  как по доказанному:

 

то мы получаем, что:

 

 

Ответ:  .

 

II способ (c использованием теоремы Менелая).

 

 

 

 

 

 

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию ( ): .

Прямая  пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( – луч, ), значит, по теореме Менелая:

 

И, значит,

 

Ответ:  .

 

 

III блок задач (отношение площадей).

Задача 5.

Пусть медиана . На медиане взята точка так, что . Прямая разбивает на два треугольника: и , причём . Найти отношение .

Дано: , – медиана , , , – прямая,  .

Найти отношение .

Решение.

I способ (без использования теоремы Менелая).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис.22).

Пусть , тогда по условию ( медиана ): ; пусть , тогда по условию ( ): .

1. Рассмотрим и . Основания и лежат на одной прямой (прямой ), а вершина общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота , значит,

 

2. Рассмотрим и . 

 – общий угол для и ;

 как соответственные  углы, образованные при пересечении  параллельных прямых  и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

 

И, значит, 

 

3. Рассмотрим и . 

 как вертикальные углы;

 как накрест лежащие  углы, образованные при пересечении  параллельных прямых  и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

 

Но, так как  по доказанному:

 

то мы получаем, что:

 

 

4. Итак,

 

Ответ:  .

 

II способ (c использованием теоремы Менелая).

 

 

 

 

 

 

Пусть , тогда по условию ( медиана ): ; пусть , тогда по условию ( ): .

1. Рассмотрим и . Основания и лежат на одной прямой (прямой ), а вершина общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота , значит,

 

2. Прямая  пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( – луч, ), значит, по теореме Менелая:

 

И, значит,

 

3. Итак,

 

Ответ:  .

 

Задача 6.

Биссектрисы и   пересекаются в точке . Найти , если , , .

Дано: ; , – биссектрисы , , , ,  .

Найти  .

Решение.

I способ (без использования теоремы Менелая).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Пусть , тогда по условию (, ):

 

2. Так как  – биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):

 

То есть, если , то

3. Так как – биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):

 

То есть, если , то

4. Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис.24).
5. Рассмотрим и . 

 – общий угол для и ;

 как соответственные  углы, образованные при пересечении  параллельных прямых  и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

 

И, значит, 

 

6. Рассмотрим и . 

 как вертикальные углы;

 как накрест лежащие  углы, образованные при пересечении  параллельных прямых  и ( по дополнительному построению) секущей , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

 

Но, так как  по доказанному:

 

то мы получаем, что:

 

То есть, если , то .

7. Рассмотрим и . 

и имеют общий угол – , поэтому площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих .

Итак,

 

 

Следовательно,

 

По условию  задачи , поэтому,

 

8. Рассмотрим и . 

Основания и лежат на одной прямой (прямой ), а вершина общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота , значит,

 

 

Ответ: .

 

II способ (c использованием теоремы Менелая).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Пусть , тогда по условию (, ):

 

2. Так как  – биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):

 

То есть, если , то

3. Так как – биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):

 

То есть, если , то

4. Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( – луч, ), значит, по теореме Менелая:

 

И, значит,

 

То есть, если , то .

5. Рассмотрим и . 

и имеют общий угол – , поэтому площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих .

Итак,

 

 

Следовательно,

 

По условию  задачи , поэтому,

 

6. Рассмотрим и . 

Основания и лежат на одной прямой (прямой ), а вершина общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота , значит,

 

 

Ответ: .

 

 

Заключение.

 

Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном курсе геометрии 7–9 классов. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.

Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.

Я  считаю, что теоремы Чевы и Менелая должны быть включены в основной курс геометрии 7–9 классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников.

 Теоремы Чевы и Менелая также помогают быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена.

 

 

 

 

Список используемой литературы.

 

 

1. Аксёнова М. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика/ В. Володин. – М.: Аванта+, 2004.
2. Атанасян Л.С. Геометрия, 7–9: Учебник для общеобразовательных учреждений/ В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. – М.: Просвещение, 1996.
3. Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к школьным учебникам 8, 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/ В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. –12–е издание.– М.: Просвещение, 2002.
4. Мадер В.В. Полифония доказательств. – М.: Мнемозина, 2009.
5. Прасолов В.В. Задачи  по  планиметрии. Часть I. – M.: МЦНМО, 2001.