Автор: Пользователь скрыл имя, 22 Февраля 2011 в 17:11, лекция
1. Уравнения прямой в пространстве
2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим
3. Взаимное расположение прямых в пространстве
Напомним, что в аналитической геометрии любая пространственная линия рассматривается как пересечение двух поверхностей.
Так как каждая прямая всегда может быть помещена в некоторую плоскость и при пересечении двух плоскостей образуется прямая, то в аналитической геометрии прямую в пространстве принято задавать как пересечение двух плоскостей.
Итак, пусть и – уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую . Тогда координаты любой точки прямой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы
(1)
Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве. Так как через любую прямую в пространстве проходит множество плоскостей, то любую прямую можно задать ее общими уравнениями и не единственным образом.
Недостатком задания прямой общими уравнениями является то, что по их виду ничего нельзя сказать о расположении прямой в пространстве. При решении задач удобнее использовать другие, более наглядные формы записи уравнений прямой – параметрические или канонические уравнения.
Получим параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве, решив следующую задачу.
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку , параллельно вектору .
Также, как и для прямой на плоскости, вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой.
Пусть – текущая точка прямой. Обозначим через и – радиус-векторы точек и .
Рассмотрим векторы и . По условию задачи они параллельны.
Следовательно, существует такое число ( называют параметром), что
,
, (2*)
или, в координатной форме,
(2)
Уравнение (2*) и систему уравнений (2) называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).
Если в задаче 1 вектор не параллелен ни одной из координатных плоскостей (т.е. если , и ), то из уравнений системы (2) можно выразить параметр :
и заменить систему (2) одним равенством вида:
. (3)
где – координаты некоторой точки на прямой; , , – координаты направляющего вектора прямой.
Уравнения (3) называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Частным случаем канонических уравнений являются уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Действительно, пусть прямая проходит через две точки и . Тогда вектор
является ее направляющим вектором, и канонические уравнения этой прямой будут иметь вид
. (4)
Уравнения (4) называют уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки и .
Переход от канонических (параметрических) уравнений прямой к общим не вызывает затруднений. Действительно, если канонические уравнения прямой имеют вид
то ее параметрические уравнения:
а общие уравнения:
Переход от общих уравнений прямой к каноническим (параметрическим) требует несколько больших усилий.
Пусть прямая задана общими уравнениями:
(5)
Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки на прямой. Координаты точки найти легко – это одно из решений системы уравнений (5). Выясним, как можно найти направляющий вектор .
Пусть и – плоскости, уравнения которых входят в общие уравнения прямой, и – нормальные векторы к плоскостям и соответственно.
Так как прямая лежит в плоскости , то векторы и перпендикулярны.
Так как прямая лежит в плоскости , то векторы и тоже перпендикулярны.
Следовательно, в качестве можем взять векторное произведение векторов и (см. определение векторного произведения в §9).
ПРИМЕР. Записать канонические уравнения прямой
(6)
1) Найдем одно из решений системы (6). Так как , то этот минор можно выбрать в качестве базисного минора матрицы системы (6). Следовательно, переменные и можем выбрать в качестве базисных, а переменную – свободной. Так как нам не нужно все множество решений системы (6), то придадим переменной конкретное значение. Например, полагаем . Тогда переменные и будут удовлетворять системе
Решаем эту систему по формулам Крамера и получаем:
Таким образом, – одно из решений системы (6), и точка – точка на рассматриваемой прямой.
2) Найдем направляющий вектор прямой. Имеем:
Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой можем взять вектор , и канонические уравнения рассматриваемой прямой будут иметь вид:
Если в пространстве даны две прямые, то они могут 1) быть параллельны, 2) пересекаться, 3) скрещиваться.
Выясним, как по уравнениям прямых определить их взаимное расположение.
Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями:
Если прямые параллельны, то их направляющие векторы
коллинеарные. Так как коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты, то условие параллельности прямых будет иметь вид:
. (7)
Теперь рассмотрим две пересекающиеся прямые. Такие прямые можно поместить в одну плоскость. Но это значит, что векторы , и будут компланарны. Следовательно,
, (8)
или, в координатной форме,
. (9)
Таким образом, если прямые и не параллельны и для них выполняется условие (8) (или, в координатной форме, условие (9)), то они пересекаются.
Так как скрещивающиеся прямые нельзя поместить в одну плоскость, то для скрещивающихся прямых условие (8) не выполняется. Следовательно, если прямые и не параллельны и для них не выполняется условие (8) (или, в координатной форме, условие (9)), то они скрещиваются.
НАПРИМЕР. Прямые
будут параллельны, так как их направляющие векторы и удовлетворяют условию (7):
Прямые
не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них выполняется условие (9):
Следовательно, прямые и – пересекаются.
И, наконец, рассмотрим прямые
Они не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них не выполняется условие (9):
Следовательно, прямые и – скрещиваются.
Рассмотрим некоторые задачи аналитической геометрии, которые связаны с взаимным расположением прямых в пространстве.
ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми и называется угол между прямой и проекцией прямой на любую плоскость, проходящую через прямую .