Угол между прямой и плоскостью

Тема  № 8:

Угол  между прямой и плоскостью. 
 
 
 
 

     Если  прямая АВ пересекает плоскость α и не перпендикулярна α, то углом между прямой АВ и плоскостью α называется угол между прямой АВ и ее проекцией на плоскость α.

Если  АВ||α, то угол между прямой АВ и плоскостью α считается равным 0°, а если AB α,

то  - равным 90°.

     Пример 1. В основании прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм с углом при вершине A, равным 60°. Отношение ребер параллелепипеда AB:AD:AA1 = 1:2:3. Найдем угол между прямой B1D и плоскостью грани AA1D1D.

     Решение. Построим проекцию прямой B1D на плоскость AA1D1. Для этого нужно из какой-нибудь точки прямой B1D, например из точки В1, опустить перпендикуляр на плоскость AA1D1.

     Прежде  чем построить этот перпендикуляр, отметим, что если В1Н — это  перпендикуляр к прямой A1D1, то В1Н — перпендикуляр и к плоскости AA1D1.  Действительно, так как заданный параллелепипед прямой, то АА1 — перпендикуляр к плоскости А1В1С1, и, значит, АА1 В1Н,     т. е. прямая В1Н оказывается перпендикулярной прямым A1D1 и АА1 плоскости AA1D1.

     Для построения В1Н A1D1 подсчитаем стороны треугольника A1B1D1 и найдем отношение, в котором искомая точка Н разделит сторону A1D1. Введем для выполнения подсчетов вспомогательный параметр, положив, например, А1В1=a. Тогда A1D1=2a. Так как B1A1D1 = 60°, то нетрудно убедиться, что A1B1D1 = 90° (Действительно, , т. е. .)

     В прямоугольном треугольнике A1B1D1 имеет место соотношение A1B1=A1H*A1D1. Таким образом, , откуда , и, значит, . Зная теперь отношение, в котором точка Н делит сторону A1D1 треугольника A1B1D1, строим эту точку. Соединяем затем точку Н с точкой D и получаем DH — проекцию прямой B1D на плоскость AA1D1. Итак, искомым углом является угол B1DH.

     Продолжая вычисления, находим, что , и из прямоугольного треугольника .

     И наконец, из прямоугольного треугольника DB1H получаем , т. е. искомый угол равен .

     Пример 2. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 45°. На ребре SB взята точка М — середина этого ребра. Найдем угол между прямой AM и плоскостью грани SBC.

     Решение. Пусть SO — высота пирамиды. Тогда ОА, ОВ и ОС — проекции соответственно ребер SA, SB и SC на плоскость ABC и . Тогда SO — общий катет треугольников SOA, SOB и SOC. Так как эти треугольники имеют еще по равному острому углу, то они равны, и, следовательно, ОА = ОВ = ОС.       В прямоугольном треугольнике точкой, равноудаленной от его вершин, является середина гипотенузы. Итак, точка О — середина гипотенузы АВ треугольника ABC.

Кроме того, SA = SB = SC (так как равны проекции этих наклонных).

     Так как в треугольнике , то треугольник SAB равнобедренный и . Но тогда , т. е. SA=AC, и, значит, равносторонний.

Аналогично  равносторонним является и треугольник SBC.

     Перейдем  теперь к построению угла между прямой AM и плоскостью SBC. Проведем медиану AF равностороннего треугольника SAC. Ясно, что . Соединив точку F с точкой В, получим . Тогда плоскость AFВ перпендикулярна прямой SC. Поэтому, если в плоскости AFB провести , то, так как SC — это перпендикуляр к плоскости AFB, то будет и , или, наоборот, .

     Таким образом, прямая АН будет перпендикулярна  двум прямым BF и SC плоскости SBC, т. е. АН будет перпендикуляром к плоскости SBC.

     Для построения , например, вычислительным способом введем вспомогательный параметр, положив, например, АС = a. Тогда ясно, что ВС = а и SA = SB = SC = a, .

     Отметим еще, что  Это значит, что угол AFB тупой, и, следовательно, BH = BF + FH.

     Итак, .

      Для построения точки Н находим отношение .

Построив  точку Н и прямую AH, соединим точку H с точкой M.

     Получаем  в плоскости SBC прямую МН — проекцию наклонной AM, и, следовательно, — это угол прямой AM с плоскостью SBC, т. е. искомый угол.

     Из  прямоугольного треугольника .

     Из  прямоугольного треугольника AFH находим: , а из прямоугольного треугольника ASM .

     Тогда , и, таким образом, угол прямой AM с плоскостью SBC равен .

Пример 3. В правильной призме АВСА1В1С1 угол между прямыми АВ1 и А1С равен 2а. Найдем угол между прямой ВС1 и плоскостью грани АСС1А1.

Решение.  Выполним сначала дополнительные построения. В плоскости грани АВВ1A1

через точку А1 проведем прямую A1D B1A. Тогда . Соединим точку D с точкой С и проведем в треугольнике DA1C медиану А1К. Так как данная призма правильная, то ее боковые грани — равные прямоугольники, и, следовательно, В1А=А1С.

Кроме того, B1A=A1D. Тогда и A1D = A1C, т. е. в треугольнике DA1C A1K DC. Проведем далее в равностороннем треугольнике ABC медиану ВМ. Тогда ВМ AС. Но ясно и то, что АА1 является перпендикуляром к плоскости ABC, т. е. АА1 ВМ или, наоборот, BM AA1. Так как прямая ВМ перпендикулярна двум  пересекающимся прямым плоскостям АСС1А1, то ВМ — это перпендикуляр к плоскости грани АСС1А1, и, значит, соединив точку М с точкой C1, мы получим С1М — проекцию прямой ВС1 на плоскость грани АСС1А1 — и прямоугольный треугольник С1ВМ, угол ВС1М которого является углом между прямой ВС1 и плоскостью грани АСС1А1.

     Рассмотрим прямоугольные треугольники С1ВМ и A1DK. У них BC1=A1D, и так как в треугольнике ADC , то . Но и в треугольнике .  Таким образом, BM = DK. Итак, прямоугольные треугольники С1ВМ и A1DK равны (по гипотенузе и катету). Тогда . Но ясно, что . Следовательно, и . 

     Домашнее  задание:

1. В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Высота призмы равна катету основания. На ребрах АВ, СС1 и АС взяты соответственно точки P, Q и R — середины этих ребер. Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через вершину С1, параллельно прямым PQ и B1R и найдем угол, который образует с секущей плоскостью прямая СВ1.
2. На ребрах А1В1 и DD1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q середины этих ребер. Найдем угол, который образует прямая B1D с секущей плоскостью α, проходящей через вершину С1, перпендикулярно прямой PQ. Построим сечение куба плоскостью α и найдем точку пересечения прямой PQ с плоскостью α.