Алгоритмы принятия решений на основе нечеткой логики

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №1

АЛГОРИТМЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ  НА ОСНОВЕ

НЕЧЕТКОЙ  ЛОГИКИ 

       1. Цель работы 

       Целью выполнения работы является:

• закрепление знаний в области нечеткой логики и механизмов принятия решений на её основе;
• ознакомление с пакетом математического моделирования Fuzzy Toolbox в среде Matlab;
• реализация нечеткого алгоритма принятия решений с помощью Matlab.

 

       2. Краткие теоретические  сведения 

       Нечеткая  логика – это математическая наука, служащая расширением классической логики и основанная на концепции частичной истинности. Понятия нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткой логики (fuzzy logic) впервые были предложены американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г. в статье “Нечеткие множества”, опубликованной в журнале “Информатика и управление”.

       Основные  преимущества систем на основе нечеткой логики:

• возможность оперирования нечеткими входными данными: например, значениями, которые невозможно задать однозначно («сильно уязвимый», «довольно дорогой» и т.п.);
• возможность нечеткой формализации критериев оценки и сравнения: оперирование критериями "большинство", "возможно", преимущественно";
• возможность проведения качественных оценок как входных данных, так и выходных результатов;
• возможность проведения имитационного моделирования сложных динамических систем и их сравнительный анализ с заданной степенью точности.

       Нечетким  логическим выводом (fuzzy logic inference) называется аппроксимация зависимости Y = f(x₁, x₂, …, x_n) выходной лингвистической переменной от входных лингвистических переменных и получение заключения в виде нечеткого множества, с использованием базы знаний, содержащей правила  вида «Если …, то…».

       Механизм  логического вывода состоит, в общем  случае, из следующих этапов:

       1) фаззификация – определение степеней уверенности, т.е. значения каждой из функций принадлежности терма при заданных значениях входных переменных x_k (k = 1, …, n);

       2) нечеткий вывод – состоит из двух этапов:

• определение уровней «отсечения» для левой части каждого из правил, т.е. значения функций принадлежности для левых частей каждого правила («предпосылок»). В большинстве случаев, это либо максимум, либо минимум из степеней уверенности термов, вычисленных на этапе фаззификации (логические «ИЛИ», «И»);
• определение «усеченных» функций принадлежности. Для этого значения функций принадлежности предпосылок объединяются с соответствующими функциями принадлежности из правых частей правил по правилу «логического И»;

       3) нечеткая композиция – определение результирующей функции принадлежности всей совокупности правил, т.е. объединение полученных усеченных функций (обычно по правилу «логического ИЛИ»);

       4) дефаззификация – приведение к «четкости», используя результирующую функцию принадлежности. Основным методом деффазификации является центроидный (centroid) – нахождение центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции принадлежности нечеткого множества;

       В качестве примера рассмотрим процедуру  принятия решения о необходимости  выделения затрат на модернизацию системы  защиты информации (СЗИ).

       1. Сформулируем набор нечетких логических переменных:

• уровень угроз x = {Низкий (S), Средний (M), Высокий (L)};
• уязвимость ресурсов y = {Невысокая (S), Высокая (L)};
• затраты на модернизацию z = {Низкие (S), Высокие (L)}.

       2. Построим графики функций принадлежности для этих переменных (рис. 3): 

Рис. 3. Функции  принадлежности для уровня угроз, уязвимости и 

затрат  на модернизацию СЗИ: а – уровень угроз; б – уязвимость ресурсов; в – затраты на модернизацию. 

       3. Сформулируем правила, регламентирующие работу системы принятия решений:

       ЕСЛИ  Уровень угроз = «НИЗКИЙ» И Уязвимость ресурсов = «НЕВЫСОКАЯ» ТО Затраты  на модернизацию = «НИЗКИЕ»

       Полный  список всех правил, с указанием  соответствующих значений нечетких переменных x, y и z приведен в табл. 1: 
 

Таблица 1

  База правил 

 

       4. Построим графическое представление механизма логического вывода для конкретных значений входных переменных x = x^* и y = y^* (рис. 4)

 

 

       5. Определим результирующую функцию принадлежности совокупности правил 1 - 4, используя при дефаззификации центроидный метод (рис. 5). 

Рис. 5. Определение функции принадлежности

для выходной переменной и дефаззификация 
 

       2.3. Основные сведения  о пакете Matlab 

       Matlab – пакет прикладных программ для решения задач численного анализа созданный компанией The MathWorks. Пакет позволяет визуализировать математические функции и экспериментальные данные, реализовывать вычислительные алгоритмы, конструировать графический интерфейс пользователя для решения специфических задач, а также через специальные интерфейсы взаимодействовать с другими языками программирования и программами.

       При загрузке Matlab появляется основное окно программы (рис. 6), состоящее из следующих частей:

       1) меню;

       2) панель инструментов;

       3) Launch Pad – список доступных инструментальных пакетов;

       4) Command History – история команд;

       5) Command Window – окно команд. 

Рис. 6. Основное окно Matlab 

       Для выполнения сложных расчетов, подобных работе с алгоритмами нечеткой логики, необходимо использовать дополнительные инструментальные пакеты. Их можно запустить с помощью Launch Pad либо из окна команд. Инструментальный пакет для работы с алгоритмами нечеткой логики запускается с помощью команды fuzzy.

       Основными элементами окна Fuzzy Toolbox (рис. 7) являются:

       1) меню;

       2) настройка входных и выходных функций принадлежности;

       3) настройка методов сложения множеств на разных этапах. 

Рис. 7. Окно настроек Fuzzy Logic Toolbox 

       Для добавления входных переменных необходимо воспользоваться командой меню «Edit → Add Variable → Input». Для удаления входной переменной необходимо выбрать её и воспользоваться командой меню «Edit → Remove Selected Variable».

       Для изменения параметров входных и  выходных функций принадлежности, необходимо выполнить двойной клик на одной из входных/выходных переменных или воспользоваться командой меню «Edit → Membership Functions» (рис. 8). 

Рис. 8. Изменение параметров функций принадлежности 

       На  рис. 8 цифрами 1 - 4 обозначены:

       1 – поле выбора переменной, для которой требуется изменить параметры функции принадлежности;

       2 – редактор функции принадлежности;

       3 – поле настройки параметров переменной:

• range – отрезок значений, которые может принимать переменная;
• display range – отрезок значений, отображаемый на графике;

       4 – поле настройки параметров выбранной функции принадлежности:

• name – название функции приналежности;
• type – вид функции (trimf – треугольная, trapmf – трапецеидальная, gauss – гауссова);
• params – параметры функции.

       Для добавления дополнительных функций  принадлежности для выбранной переменной, необходимо воспользоваться меню «Edit → Add MFs», где необходимо задать вид функции и количество добавляемых функций.

       Для удаления функции принадлежности необходимо выбрать её и воспользоваться  меню «Edit → Remove Selected MF».

       Для редактирования правил необходимо воспользоваться  меню «Edit → Rules» (рис. 9). 

Рис. 9. Редактор правил 

       На  рис. 9 цифрами 1 - 6 обозначены:

1. меню;
2. список созданных правил;
3. область выбора условий левой части правила  
   (предпосылок);
4. область выбора связи между условиями предпосылок (или/и);
5. область выбора результирующей функции принадлежности;
6. набор управляющих кнопок:

       «Delete Rule» – удалить правило, выбранное в списке созданных правил;

       «Add Rule» – добавить правило;

       «Change Rule» – изменить правило, выбранное в списке созданных правил.

       Для создания нового правила необходимо задать условия левой части правила, результирующую функцию и нажать на кнопку «Add Rule».

       Для удаления правила, необходимо выбрать  его в списке и нажать кнопку «Delete Rule».

       Для проверки работы механизма нечеткого  вывода необходимо воспользоваться  меню «View → Rules». 

   Рис. 10. Просмотр механизма нечеткого вывода 

       В строке «Input» необходимо задать значения входных переменных и нажать клавишу ввода. В строке «Output» будет указано выходное значение и будут отображены графики соответствующих функций принадлежности.

       Рассмотрим пример использования пакета Matlab для моделирования приведенной выше задачи модернизации СЗИ.

       1. Запустим Fuzzy Logic Toolbox с помощью команды fuzzy.

       2. Добавим вторую входную лингвистическую переменную, используя меню «Edit → Add Variable → Input» (рис. 11): 

       Рис. 11. Добавление лингвистической переменной