Аппроксимация методом наименьших квадратов

S_xy:=S_xy+x[i]*yp[i];

S_x2:=S_x2+x[i]*x[i];

S_x4:=S_x4+x[i]*x[i]*x[i]*x[i];

  end;

 

d:=S_x6*(S_x2*n-S_x*S_x)-S_x4*(S_x4*n-S_x3*S_x)+S_x3*(S_x4*S_x-S_x3*S_x2);

d1:=S_x3y*(S_x2*n-S_x*S_x)-S_x4*(S_xy*n-S_y*S_x)+S_x3*(S_xy*S_x-S_y*S_x2);

d2:=S_x6*(S_xy*n-S_y*S_x)-S_x3y*(S_x4*n-S_x3*S_x)+S_x3*(S_x4*S_y-S_x3*S_xy);

d3:=S_x6*(S_x2*S_y-S_x*S_xy)-S_x4*(S_x4*S_y-S_x3*S_xy)+S_x3y*(S_x4*S_x-S_x3*S_x2);

A:=d1/d;

C:=d2/d;

B:=d3/d;

 

 

  for i:=1 to n do

   begin

yp[i]:=A*x[i]*x[i]*x[i]+C*x[i]+B;

 

 

   end;

end;

 

end.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.Контрольный пример

n	x	y	x^2	x^3	x^4	x^6	y*x	y*x^3
9	1	6,5	1	1	1	1	6,5	6,5
	1,5	20,38	2,25	3,375	5,0625	11,390625	30,57	68,7825
	2	46,4	4	8	16	64	92,8	371,2
	2,5	88,63	6,25	15,625	39,0625	244,140625	221,575	1384,84375
	3	151,1	9	27	81	729	453,3	4079,7
	3,5	237,9	12,25	42,875	150,063	1838,265625	832,65	10199,9625
	4	535	16	64	256	4096	2140	34240
	4,5	500,3	20,25	91,125	410,063	8303,765625	2251,35	45589,8375
	5	684,5	25	125	625	15625	3422,5	85562,5
сумма	27	2270,71	96	378	1583,25	30912,5625	9451,245	181503,326
Δ=	30912,5625	1583,25	378	213505,875		A=ΔA/Δ=	4,484287033
	1583,25	96	27
	378	27	9
ΔA=	181503,3263	1583,25	378	957421,6267		C=ΔC/Δ=	41,63632524
	9451,245	96	27
	2270,71	27	9
ΔC=	30912,56	181503,326	378	8889600,052		B=ΔB/Δ=	-60,94831882
	1583,25	9451,245	27
	378	2270,71	9
ΔB=	30912,56	1583,25	181503,326	-13012824,14
	1583,25	96	9451,245
	378	27	2270,71
Yэкспер
-14,82771
16,640638
58,198628
113,20948
185,03641
277,04263
392,59135
535,0458
707,76919

8.Анализ  результатов

Выполнив курсовую работу, мы нашли параметры функции Y= Ax³+Cx+B .

Искомое уравнение имеет  вид:

Y= 4.48x³+41.63x-60.94

Получили результаты расчетов программы на языке Паскаль , используя  программу Delphi, а также выполнили контрольный просчет с помощью программы Microsoft Excel. Результаты этих просчетов совпадают, что подтверждает правильность составления алгоритма и программы. Также мы можем сделать вывод о соответствии линии Тренда с экспериментальными данными, которые были получены с помощью метода наименьших квадратов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В курсовой работе была выполнена поставленная задача: составлен алгоритм решения, приведены результаты аппроксимации заданной функции методом наименьших квадратов, полученные с использованием программы MicrosoftExcel,а также приведена программа решения, написанной на языке Delphi. Вышеприведенные способы аппроксимации таблично заданной функции являются взаимно проверяющими. Преимуществом использования MSExcel является простота применения этой программы. В процессе выполнения поставленной задачи, мы определили искомые коэффициенты:

А=4,484287033

 

В=-60,94831882

 

С=41,63632524

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложения

 

            

 

 

 

           

 

 

 

 

 

 

Файл  с исходными значениями

 

1          6.5

1.5        20.38

2          46.4

2.5        88.63

3          151.1

3.5        237.9

4          535

4.5        500.3

5          684.5

 

 

 

Файл с результатами вычислений

 

 

Теоретические значения y :

-14.828

16.641

58.199

113.210

185.037

277.043

392.592

535.047

707.770

 

========================

 

========================

Искомое уравнение:

y=4,48 x*x*x +41,64x+-60,95