Фрактальная логика

  1.|z|<1 => аттрактор точки z - это точка (0,0),

  2.|z|=1 => точка z останется на окружности радиуса 1,

  3.|z|>1 => аттрактор точки z - бесконечность,

Если c - не нуль, то возникает аттрактор, отличный от нуля.

Аттракторы - это центры притяжения, которые ведут борьбу за влияние на плоскости; любая начальная точка либо в течение процесса приходит к тому или иному аттрактору, либо лежит на границе и не может принять определенного решения. С изменениями параметров меняются и области влияния аттракторов, а вместе с ними и границы.

Множества Жюлиа и Мандельброта строятся рекурсивно при помощи различных функций F и G, позволяющих перейти от k-той точки на плоскости к (k+1)-ой точке по следующему закону:

x(k+1)=F(x(k), y(k),p),

y(k+1)=G(x(k), y(k),q),

где p и q - параметры, которые считаются постоянными в течение каждой итерации (x(0),y(0))->(x(1),y(1))->...->(x(k),y(k))->... В качестве функций F и G можно рассматривать различные нелинейные функции. Если плоскость, состоящая из всех пар (x,y), рассматривается при фиксированных p и q, то получаются так называемые множества Жюлиа. Если, напротив, фиксируется начальная пара значений (x,y) и прослеживается ее судьба при различных значениях параметров p и q, то получаются изображения, называемые множествами Мандельброта.

Вот что писал великий английский физик  и математик Роджер Пенроуз по поводу фрактального множества Мандельброта:

“Доводилось ли вам когда-нибудь видеть картины, нарисованные компьютером, - объекты, известные под названием множеств Мандельброта? Впечатление такое, как будто вы отправляетесь в путешествие в какой-то далекий мир. Вы включаете свое чувствительное устройство, видите невероятно сложную конфигурацию с множеством всевозможных деталей и пытаетесь понять, что это такое. Вы можете вообразить, что перед вами какой-то необыкновенный ландшафт или, быть может, живое существо, облепленное со всех сторон крохотными детенышами, очень похожими на породившее их создание, но всё же несколько отличающееся от него. Весьма искусная и впечатляющая картина!

И всё же, даже глядя на уравнения, никто не имел ни малейшего представления о том, что они могут порождать структуру такого типа. А ведь эти ландшафты - не плод чьего-то разыгравшегося воображения: все видят одну и ту же картину.

Вы исследуете нечто с помощью компьютера, но это ничем не отличается от исследования, проводимого с помощью обычной экспериментальной техники.”

Мандельброт демонстрирует методологию описания множеств, полученных с помощью рекуррентных процедур.

В качестве качественного инварианта описания он применяет понятие самоподобия, подразумевающее подобие фрагмента множества, полученного бесконечной рекуррентной процедурой, всему множеству.

Рис. 1.4.1 Бенуа Мандельброт (род. 1924)

Автор термина "фрактал" и основоположник фрактальной геометрии.

                                          а)                                                                                    б)

                            в)                                                                                                  г)

                                          д)                                                                                    е)

Рис 1.4.2  а)-е) Фрагменты множества Мандельброта при различных масштабах.

Фрагмент в рамке показан на следующем (по буквенному обозначению) рисунке. Фрагмент в е) напоминает по форме а).

Для количественного описания фрактальных множеств Мандельброт предложил использовать понятие размерности фрактального множества.

В обычном понимании размерность геометрического множества есть число измерений, с помощью которых можно задать положение точки на геометрическом объекте.

В свое время бурные дискуссии вызвал переход в “многомерие” - от плоскостей с размерностью два и евклидовых пространств с размерностью три, к менее представляемым n-мерным абстракциям. Достаточно сложно себе представить четырех, пяти или шестимерное пространство.

Сходная ситуация, на наш взгляд, складывается и в связи с освоением концепции фрактала.

Переход от «линейного мышления» к «фрактальному» сопряжен с введением новых интерпретаций размерности - числа измерений предметов.

Фрактальная геометрия заставляет мыслить в понятиях “дробномерия” - дробных измерений, или даже “дробномирия”.

Вот что пишут Ю.А.Данилов и Б.Б.Кадомцев в известной статье "Что такое синергетика?"[8]:

Мандельброт предложил использовать в качестве меры «нерегулярности» (изрезанности, извилистости и т. п.) определение размерности, предложенное Безиковичем и Хаусдорфом. Фракталь (неологизм Мандельброта) - это геометрический объект с дробной размерностью Безиковича-Хаусдорфа...

...Размерность Безиковича-Хаусдорфа всегда не меньше евклидовой и совпадает с последней для регулярных геометрических объектов (для кривых, поверхностей и тел, изучаемых в современном учебнике евклидовой геометрии). Разность между размерностью Безиковича-Хаусдорфа и евклидовой - «избыток размерности» - может служить мерой отличия геометрических образов от регулярных. Например, плоская траектория броуновской частицы имеет размерность но Безиковичу-Хаусдорфу больше 1, но меньше 2: эта траектория уже не обычная гладкая кривая, но еще не плоская фигура....

...Под фракталом, подразумевался некий сильно изрезанный, геометрический объект, который являлся, например уже не точкой, но еще не гладкой линией, или уже не линией, но еще не плоскостью.”

Мандельброт специально нашел такое определение размерности (размерности по Хаусдорфу и Безиковичу), которое бы в частном случае соответствовало нашим представлениям о классических целых размерностях, а в общем случае позволяло вводить и измерять фрактальные предметы.

Для уточнения понятия размерности рассмотрим множество S точек в некотором евклидовом пространстве.

Будем покрывать это множество по очереди отрезками прямой, квадратами, кубами. Для этого выберем функцию покрытия h() = (d)d, которая при d=1 соответствует прямолинейным отрезкам, при d=2 квадратам, при d=3 - кубам.   - это геометрический коэффициент равный в нашем случае единице.

Рассмотрим  меру множества Md=h(). Мера – это общее понятие для таких понятий как длина, площадь и объем, которая работает "в зазорах" между этими понятиями.

При 0 мера Md равна нулю или бесконечности в зависимости от выбора d-размерности меры. Например, при покрытии фрагмента плоскости отрезками (d=1) мера равна бесконечности так как длина плоскости бесконечна - поверхность нельзя покрыть конечным числом отрезков, чья длина стремится к нулю. При покрытии фрагмента плоскости кубиками (d=3), мера стремится к нулю - объем плоскости равен нулю. Однако, при d=2 мера плоскости стремится к конечной величине. Этой мерой служит площадь исследуемого нами фрагмента плоскости.

При покрытии фигуры Коха (рис.1.1.1) отрезками (d=1), мера (длина фигуры) стремится к бесконечности. При покрытии фигуры Коха квадратами (d=2) мера (площадь фигуры) стремится к нулю. Этот факт дает основание предположить, что между d=1 и d=2 должно существовать значение d, при котором мера меняет свое значение с нуля на бесконечность.

Размерность Хаусдорфа-Безиковича D множества S есть критическая размерность, при которой мера Md меняет своё значение с нуля на бесконечность:

Md=(d)d 0   при d>D; Md=(d)d    при d<D.

В случае с плоскостью, размерность Хаусдорфа-Безиковича равна двум. В случае фигуры Коха эта размерность не является целой и является фрактальной. Мера фигуры Коха не является длиной и площадью, а находится между ними.

Для определения размерности сложной фигуры на евклидовой плоскости (береговой линии, кластера), ее покрывают набором квадратов со стороной l0, и при различных l подсчитывают число квадратов N(l). Далее ищется степенная функция меры таким образом, чтобы она была конечной при каком-то показателе степени. Для этого в двойных логарифмических координатах строится зависимость числа квадратов, покрывших фигуру, от длины сторон этих квадратов. Получается график, похожий на график зависимости длины береговой линии от функции выбранного шага (рис. 1.5.2). По углу наклона этого графика определяется фрактальная размерность.

Размерности можно вводить и по-другому. Будем покрывать изучаемое множество в p-мерном пространстве кубиками с ребром . Кубику с номером i сопоставим вероятность Pi, с которой в него попадают точки множества. Далее можно ввести набор величин Dq называемых обобщенными размерностями, по формуле:

Dq = ,

где суммирование ведется по всем кубикам покрытия.

При разных q возникают разные виды размерностей, характеризующих исследуемое множество - степень упорядоченности точек в пространстве.

Теория размерности – область математики, активно разрабатываемая в работах А. Н. Колмогорова, А. Реньи, Ф. Хаусдорфа.

1.4.3 Феликс Хаусдорф (1868 - 1942)

Автор оригинальных трудов по теории множеств, топологии, функциональному анализу. Предложил понятие меры и размерности, которое использовал Мандельброт для количественного описания фракталов. В 1942 году покончил жизнь самоубийством, узнав о предстоящей отправке своей семьи в гитлеровский концлагерь.

Рис. 1.4.4 Андрей Николаевич Колмогоров (1903 - 1987)

Великий советский математик. Получил фундаментальные результаты в теории множеств, теории  меры, используемые в хаотической и фрактальной динамике.

Рис. 1.4.5 Альфред Реньи (1921 - 1970)

Внес большой вклад в теорию размерностей и теорию множеств. Во фрактальной геометрии и мультифрактальном анализе активно используется понятие обобщенной размерности, введенное Альфредом Реньи.

1.5 Принцип дополнительности фрактальной геометрии

Кроме исследования математических фракталов, Мандельброт предъявил процедуры отождествления математических фракталов и реальных природных и социальных объектов – облаков, рек,  береговых линий, капилляров, колебаний цен на рынке.

В статье «Метафизика фрактала»[9] мною было показано то, как введение фрактальной концепции в практику научных исследований разрушает евклидианскую исследовательскую научную программу. Этот процесс был рассмотрен с помощью представлений И. Лакатоса о влиятельной метафизике научной теории (то есть, о положениях, стоящих над эмпирической проверкой и направляющих научный поиск).

Концепция фрактала игнорирует "защитный пояс" классических геометрических концепций (конкретные исчисления, связанные с евклидианской программой фрактальной концепцией даже не критикуются), заменяя "жесткое ядро" - тривиальные первые принципы - категории геометрии. Этим самым задается метафизика фрактала - влиятельная метафизика фрактальной концепции.

Эта замена идет не по пути изменения или введения новой аксиоматики, основанной на строгих логических приемах определения понятия, а по пути введения интерсубъективного контекста фрактальной концепции - создания устойчивых практик узнавания фрактала как в феноменах математики (геометрических множествах, решениях нелинейных уравнений), так и в феноменах - конструктах прикладных теорий (географии, лингвистики, астрофизики).

В связи с этим, можно предложить схему контекстуального введения категории фрактала и задания на этой базе влиятельной метафизики - как самоорганизации коммуникаций, интерсубъективной среды для диалога между учеными, способствующему усилению познавательной ценности категории фрактала.

Мандельброт вводил представления о фрактале фрактально – не жестко и хаотически:

во-первых, Мандельброт ввел термин "фрактал";

во-вторых, он ввел "затравку" - первое - (математически точное, но в общем случае, неверное) определение понятия фрактала через размерность Хаусдорфа-Безиковича;

и, в-третьих, он запустил интерсубъективный механизм "самоорганизации научного понятия" – развил ассоциации между термином "фрактал" и предметами математики и природы в научном сообществе.

Для создания механизма «самоорганизации понятия» Мандельброт  сумел описать (пользуясь методами аналогии, компьютерной визуализации, перечислением сходных, по его представлениям, предметных областей, применяя метафоры) способы отождествления (узнавания) различных математических и природных форм как фрактальных, с помощью которых можно было бы расширить "затравочное" определение и произвести диверсификацию понятия фрактала на различные области знания. Тем самым он придал новому понятию категориальный статус и  создал на этой базе массовую научную коммуникацию - стратегию диалога, среду самоорганизации нового понятия.

Геометрические объекты, вовлекаемые Мандельбротом в корпус представлений фрактальной концепции давно исследовались математиками, и даже применялись физиками и инженерами, но общего позитивного понятия не было. Не было общей методологии, связывающей в целое представление такие, казалось бы, совершенно не корреспондирующие между собой вещи как, например, множество Жюлиа, колебания цен на хлопок и чертеж побережья Британии.

С методологический точки зрения представляется важным тот факт, что для введения нового понятия - понятия фрактала, Мандельброт не "изобретал" каких-то абсолютно новых формализмов или теорий. Он, скорее, не "первооткрыватель", а "перворассматриватель" - первый-по-новому-рассмотритель - его работа заключалась в перестройке перцептивных схем и создании языка объяснения новых предметов.