Балансовые модели "Модель Леонтьева"

Ах_А + у = х_А.

Поскольку х_А = (х_А, х_n+1) ≥ 0, то х_А ≥ 0.

Следовательно, матрица А продуктивна.

Следствие.

Если  для неотрицательной матрицы  А и некоторыого положительного вектора у уравнение (2.4) имеет  неотрицательное решение х, то матрица  А продуктивна.

Доказательство.

Как было уже показано, из существования  положительного решения у уравнения (2.4) следует, что λ_А < 1. На основании теоремы Фробениуса матрица А продуктивна.

Теорема 3 (третий критерий продуктивности).

Неотрицательная матрица А продуктивна тогда  и только тогда, когда сходится бесконечный  ряд

Е + А + А² + … (2.10)

Доказательство.

Пусть сходится ряд (2.10). Согласно лемме его  сема равна (Е – А)^-1. При этом сумма указанного ряда будет неотрицательна, поскольку все слагаемые ряда неотрицательны. Итак, матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна. Отсюда по теореме 1.3 следует продуктивность А.

Обратное  утверждение (если А продуктивна, то ряд (2.10) сходится) доказывать не будем.

3.3. Вектор полных затрат.

Пусть А ≥ 0. Равенство

(Е  – А)^-1 = Е + А + А² + … (3.11)

справедливо, как мы уже знаем, в том случае, когда матрица А продуктивна, имеет экономический смысл.

х = у + Ау + А²у + … (3.12)

В чем  смысл распадения вектора х на слагаемые у, Ау, А²у и т.д.? Для получения валового выпуска, обеспечивающего конечное потребление у, нужно прежде всего произвести набор товаров, описываемый вектором у. Но этого мало – ведь для получения у нужно затратить ( а значит, сначала произвести) продукцию, описываемую вектором Ау. Но и этого мало – для получения Ау нужно осуществить дополнительные затраты, описываемые вектором А(Ау) = А²у, и т.д. В итоге приходим к заключению, что весь валовой выпуск х должен составляться из слагаемых у, Ау, А²у и т.д., что и зафиксировано в формуле (3.12). В соответствии с этим рассуждением сумму у + Ау + А²у + … называют вектором полных затрат, а сделанное выше заключение формулируют так: вектор валового выпуска х совпадает с вектором полных затрат.

Чтобы сделать заключение более конкретным, рассмотрим такой пример. Пусть речь идет о блоке из трех промышленных отраслей:

металлургия;

электроэнергетика;

угледобыча.

Для получения конечного выпуска  у = (у₁ , у₂ , у₃)^Т необходимо прежде всего произвести:

у₁ т металла; у₂ кВт.ч электроэнергии; у₃ т угля.

Но  для производства у₁ т металла, в свою очередь, необходимо затратить (а значит, сначала произвести) какие-то количества металла, электроэнергии и угля. То же самое мправедливо и в отношении производства у₂ кВт.ч. электроэнергии и у₃ т угля

В свою очередь, для производства у₁₁ т металла необходимо затратить какие-то количества металла, электричества и угля, и т.д. Искомый валовой выпуск х представляет собой сумму затрат 0-го порядка (вектор у), 1-го порядка (вектор Ау), 2-го порядка (А²у) и т.д.

3.4. Модель равновесных цен.

Рассмотрим  теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как  и прежде, А – матрица прямых затрат, х = (х₁ , х₂, …, х_n)^Т – вектор валового выпуска. Обозначим через р = (р₁ , р₂ , …, р_n)^Т вектор цен, i координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р₁ х₁. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме а₁₁, второй отрасли в объеме а₂₁, и т.д., n-й отрасли в объеме а_n1. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х₁ первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V₁ (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее  равенство:

х₁р₁ = х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n) + V₁.

Разделив  это равенство на х₁ получаем:

р₁ = а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n + v₁,

где v₁ = V₁/х₁ – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей

р₂ = а₁₂ р₁ + а₂₂ р₂ + … + а_n2 р_n + v₂,

р_n = а_1n р₁ + а_2n р₂ + … + а_nn р_n + v_n.

Найденные равенства могут быть записаны в  матричной форме следующим образом:

р = А^Тр + v,

где v = (v₁, v₂, …, v_n)^Т – вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на А^Т.

 

 

.

 

 

4. Практическое применение метода «затраты –выпуск».

4.1. Возможности методологии Леонтьева.

Нужно отметить, что  В. Леонтьев занимался  разнообразными направлениями теоретического анализа и экономической политики. Диапазон его научных интересов  чрезвычайно широк: анализ теорий Маркса и Кейнса, математика в экономике, теории денег и цен, международная  торговля, статистические индексы, механизм спроса и предложения, экономические  циклы, машины и человек, эффективность  концентрации производства, экономическая  оценка и выбор направлений технического прогресса, отношения между развитыми  и развивающимися странами, экономика  и планирование в СССР. Перечень трудно завершить. Эти исследования В. Леонтьев обобщил в двух томах  «Экономических эссе», вышедших в 1966 и 1977 гг., а затем переведенных на французский, испанский, итальянский, японский, венгерский языки. В 1990 г. «Экономические эссе»  были опубликованы на русском языке.

Логика  исследовательского поиска вывела В.В. Леонтьева на мировой уровень  экономики. Применив новую методику, В. В.  Леонтьев доказал, что если принять во внимание весь комплекс прямых и косвенных затрат, то экспорт из США оказывается более трудоемким и менее капиталоемким, чем импорт, хотя в США квота инвестиций достаточно высока, да и уровень зарплаты достаточно высок. Получается, что для США выгоднее экспортировать труд и импортировать капитал. Внешнеторговые преимущества, известные еще со времен Рикардо, обнаруживают свой условный, относительный характер. «Парадокс Леонтьева» стал источником новых размышлений и более глубокого анализа мировой торговли. В. В.  Леонтьев возглавил группу экспертов, подготовивших по заказу ООН доклад-прогноз «Будущее мировой экономики». Он был переведен на русский язык и опубликован у нас еще в 1979  г. Исходными для анализа явились данные за 1970  г., а в прогнозе давались оценки на 1980, 1990 и 2000  гг.(3,28). Доклад должен был стать основой «стратегии развития» и создания нового экономического порядка, разрабатывавшихся под эгидой ООН.

Итак, В. Леонтьев непрерывно работал над  расширением сферы применения методологии  межотраслевого анализа: экономическая  динамика и инвестиционные процессы, взаимодействие экономики и окружающей среды, межрегиональные и внешнеэкономические  связи, экономика вооружений и конверсии, воздействие автоматизации на занятость  и структуру экономики. Рассмотрим некоторые вопросы более подробно:

1. взаимодействие экономики и окружающей среды

действительно, профессор Леонтьев принадлежит  к первому ряду ученых-экономистов, выразивших озабоченность состоянием окружающей среды. Здесь его отличает удивительное остроумие в распространении  метода «затраты-выпуск» на новые, качественно  разнообразные области исследования. Так  им была   создана модель взаимодействия экономики и окружающей среды (введение в матрицу межотраслевых  связей коэффициентов выпуска и  уничтожения загрязнителей) и глобальная межотраслевая модель (соединение матриц регионов мира с коэффициентами структуры  мировой торговли). Многие экономисты потом удивлялись простоте, даже примитивности  найденных модельных конструкций, но почему-то такие решения раньше никому не приходили в голову.  Используя опыт моделирования, Леонтьев  показывал взаимосвязь, существующую между хозяйственной активностью  и состоянием среды обитания. Еще  в своей Нобелевской лекции, посвященной  проблемам мировой экономики  в свете шахматных балансов, он выделил загрязнение окружающей среды в самостоятельный сектор шахматного баланса. Задача состояла в  доказательстве того, что введение строгих мировых стандартов необходимо и неизбежно, а с точки зрения экономической эффективности даст возможность развивающимся странам  заметно повысить занятость, хотя и  потребует некоторых жертв со стороны потребления. Особым вниманием  к экологическому фактору проникнута и книга «Будущее мировой экономики».  
В работе содержится группировка стран и регионов, находящихся, судя по основным экономическим показателям, на разных ступенях развития, и предлагаются два альтернативных сценария их развития к 2000  г. Предполагалось, например, что разрыв между индустриально развитыми и развивающимися странами в доходе на душу населения сократится с 12  : 1 до 7  : 1.

Экспертные  оценки свидетельствовали о том, что расходы на борьбу с загрязнением окружающей среды напрямую зависят  от размера душевого дохода. В странах  Африки, страдающих от засухи и эрозии почвы, доход на душу населения не превышал в 1970  г. 167  долл. в год против 2000—4000  долл. в мире индустриально развитых государств. Согласно прогнозу, душевой доход в странах засушливой Африки должен повыситься до 436  долл. Но темпы выброса твердых отходов будут в странах с низким доходом все же возрастать на 6% в год, содержание вредных примесей в воде  — на 7% в год, между тем как темпы загрязнения воздуха и воды в Северной Америке и Европе останутся до конца века примерно на том же уровне (2—3%), со слегка понижательной тенденцией. Что касается капитальных затрат в очистном секторе, то их доля по отношению к совокупному капиталу повысится в Западной Европе до 3,9%, почти до 4% — в Японии, до 2,6% — в Советском Союзе (в 1970 г. последний показатель, поданный ООН, составлял 1,3%) (14).

Разумеется, прогнозы содержали приблизительные  оценки и основывались на том видении  мира, которое господствовало среди  ученых в середине 70-х гг. Предвосхитить  глобальные социально-политические сдвиги, которыми характеризовалось последнее  десятилетие, было весьма затруднительно.

В   целом прогноз относительно более  быстрого экономического роста развивающихся  стран оправдался, хотя в этом регионе  произошла значительная дифференциация, выделилась группа государств, которые  называются «новыми индустриальными». Это  — Юго-Восточная Азия, Аргентина, Бразилия, ряд стран Ближнего Востока. По душевому продукту они соперничают со странами Европы и Северной Америки. Дифференциация привела также к тому, что терминология 70-х гг.  — «третий мир», «развивающийся мир»  — вряд ли подходит к сегодняшней структуре мира.

Не  оправдался   прогноз развития стран «централизованно планируемой  экономики». Составлявшая в 1970  г. их доля в мировом материальном производстве   — 21%  — должна была увеличиться до 27% к 1990   г. и до 29% к 2000  г.(14)

2.  Экономика вооружений и  конверсии.

Василия Васильевича   часто бывал на международных конференциях, посвященных  экономике разоружения, проблемам  конверсии военного производства. Он видел свою задачу в том, чтобы, используя  шахматные балансы, методику «затраты—выпуск», рассчитать издержки производства оружия, его воздействие на смежные отрасли, а также определить наиболее рациональный подход к конверсии, удешевить ее и сберечь рабочие места. Так, еще в 1941—1942 гг. В. Леонтьев опровергал предсказания, что послевоенная конверсия  промышленности неизбежно приведет к массовой безработице. Вопреки  убеждениям о падении спроса на продукцию  сталелитейной промышленности США  он доказывал (и это предположение  подтвердилось), что спрос на сталь  возрастет благодаря расширению строительства и массовой реконструкции. Значительно позже, анализируя влияние  автоматизации на экономическую  систему, он показал, что не абсолютное сокращение занятости является ее главным  социальным последствием, а глубокие структурные изменения, в том  числе в структуре занятости. Общей чертой приводимых примеров является учет эффекта косвенных межотраслевых  взаимодействий, не улавливаемых, как  правило, сторонниками правдоподобных, но упрощенных объяснений процессов, происходящих в экономике В соавторстве  с    Дахиным Леонтьевым были опубликованы работы: «Военные расходы» (1983) и «Перспективы автоматизации труда» (1986). В конце 80-х гг. В. В.  Леонтьев участвовал в первых проектах широкомасштабной конверсии военного производства и экономических преобразований России.