Исследование операций

     В стохастических моделях неизвестные  факторы - это случайные величины, для которых известны функции  распределения и различные статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.п.). Среди стохастических характеристик  можно выделить:

     -модели стохастического программирования, в которых либо в целевую функцию, либо в ограничения входят случайные величины;

     -модели теории случайных процессов, предназначенные для изучения процессов, состояние которых в каждый момент времени является случайной величиной;

     -модели теории массового обслуживания, в которой изучаются многоканальные системы, занятые обслуживанием требований.

     Также к стохастическим моделям можно  отнести модели теории полезности, поиска и принятия решений.

       Для моделирования ситуаций, зависящих  от факторов, для которых невозможно  собрать статистические данные  и значения которых не определены, используются модели с элементами  неопределенности.

     В моделях теории игр задача представляется в виде игры, в которой двое (или  более) сторон преследуют различные  цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий  партнера. В экономике конфликтные  ситуации встречаются очень часто  и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения  между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная  ситуация порождается различием  интересов партнеров и стремлением  каждого из них принимать оптимальные  решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать неизвестные  заранее решения, которые эти  партнеры будут принимать.

     В имитационных моделях реальный процесс  разворачивается в машинном времени, и прослеживаются результаты случайных  воздействии на него, например, организация  производственного процесса.

     В детерминированных моделях неизвестные  факторы не учитываются. Несмотря на кажущуюся простоту этих моделей, к  ним сводятся многие практические задачи, в том числе большинство экономических  задач. По виду целевой функции и  ограничений детерминированные  модели делятся на: линейные, нелинейные, динамические и графические.

     Нелинейные  модели - это модели, в которых  либо целевая функция, либо какое-нибудь из ограничений (либо все ограничения) нелинейные по управляющим переменным. Для нелинейных моделей нет единого  метода расчета. В зависимости от вида нелинейности, свойств функции  и ограничений можно предложить различные способы решения. Однако может случится и так, что для  поставленной нелинейной задачи вообще не существует метода расчета. В этом случае задачу следует упростить, либо сведя ее к известным линейным моделям, либо просто линеаризовав модель.

     В динамических моделях учитывается  фактор времени. Критерий оптимальности  в динамических моделях может  быть самого общего вида (и даже вообще не быть функцией), однако для него должны выполняться определенные свойства. Расчет динамических моделей сложен, и для каждой конкретной задачи необходимо разрабатывать специальный алгоритм решения. По существу метод динамического  программирования представляет собой  алгоритм определения оптимальной  стратегии управления на всех стадиях  процесса.

     Графические модели - используются тогда, когда  задачу удобно представить в виде графической структуры.

     В линейных моделях целевая функция  и ограничения линейны по управляющим  переменным. Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто к ним стараются  свести и другие задачи либо на этапе  постановки, либо в процессе решения. К классическим задачам линейного  программирования относятся задачи на составление оптимального плана  перевозок (транспортная задача), задачи о загрузке оборудования, о смесях, о раскрое материалов, об ассортименте продукции, о размещении производства и управлении производственными  запасами, задачи о питании, о рациональном использовании сырья и материалов и др. Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерности  известны следующие стандартные  методы решения:

1. Графический метод;
2. Симплекс-метод;
3. Двухэтапный метод. Он позволяет получить сначала стартовую точку, т.е. начальное допустимое решение, а затем оптимальное решение. В ограничения вводятся искусственные переменные необходимые для получения стартовой точки;
4. Метод больших штрафов;

     По  смыслу значительной части экономических  задач, относящихся к задачам  линейного программирования, компоненты решения должны выражаться в целых  числах, т.е. быть целочисленными. Методы целочисленной оптимизации можно  разделить на три основные группы: а) методы отсечения; б) комбинаторные  методы; в) приближенные методы.

     Метод Гомори. Сущность метода состоит в  том, что сначала задача решается без условия целочисленности. Если полученный план целочисленный, задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

     -оно должно быть линейным;

     -должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план;

     -не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

     Дополнительное  ограничение, обладающее указанными свойствами, называется правильным отсечением.

     Далее задача решается с учетом нового ограничения. После этого в случае необходимости  добавляется еще одно ограничение  и т. д.

     Метод ветвей и границ — один из комбинаторных  методов. Его суть заключается в  упорядоченном переборе вариантов  и рассмотрении лишь тех из них, которые  оказываются по определенным признакам  перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов. Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество  допустимых решений (планов) некоторым  способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до тех пор, пока не получено оптимальное целочисленное  решение исходной задачи. 

 

     

     2 ПОИСК ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 

     2.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПЕРАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ 

     Исходные  данные

 

     В энергосистеме 4 электростанции и три вида месторождений топлива. Электростанции отпускают лишь один вид продукта – электроэнергию. Задачу будем решать на минимум суммарных по энергосистеме топливных затрат.

     Учитываемые ограничения:

     -на объемы потребления топлива каждого месторождения;

     -на соблюдение баланса электроэнергии по энергосистеме;

     -на предельные объемы выработки электроэнергии каждой электростанцией;

     -на недопустимость использования электростанцией более двух видов основного топлива. Точнее - недопустимость мелких порций топлива на одной электростанции.

     В простейшей постановке задача оптимизации  топливного баланса энергосистемы на стадии текущего планирования включает следующие стандартные элементы:

     а) неизвестные (или переменные) величины;

     б) целевые функции (имеется в виду многокритериальная постановка задачи);

     в) ограничения: на некоторые виды топлива (например, газ и отдельные месторождения угля); на соблюдение запланированного на предстоящий период (квартал или месяц) баланса электроэнергии по энергосистеме с учетом и ФОРЭМ; на соблюдение запланированного по каждой станции отпуска теплоэнергии; связанные с зависимостью части объемов выработки электроэнергии от объемов отпуска теплоэнергии; на возможность использования на электростанциях газа и не более, например, четырех видов месторождений в плановом периоде;

     г) условия не отрицательности неизвестных.

     Неизвестные величины в задаче при принятой выше исходной формулировке могут быть разбиты на четыре группы:

     -во-первых,  это объемы выработки электроэнергии (с учетом расходов на собственные нужды и потери в сетях) на каждой  w –электростанции, технологически «привязанные» к отпуску теплоэнергии на этой станции -  Э^*_WJ ;

     - во-вторых, это объемы выработки электроэнергии «свободные», т.е. технологически не привязанные к отпуску тепла -  Э^**_WJ ; 

     -в-третьих, это объемы отпуска теплоэнергии, жестко связанные с выработкой электроэнергии -  Q^*_WJ ;

     - в-четвертых, это объемы отпуска теплоэнергии, не привязанные к отпуску электроэнергии -  Q^**_WJ . Индекс  j – вид и (или) месторождение топлива.

       Разумеется, для некоторых электростанций  каких-то групп переменных может и не быть. Здесь же рассматривается математическая формулировка задачи в общем виде.

     Таким образом, 

                                                    ₍₁₎ 

     где  Э_WJ,  Q_WJ  - соответственно выработка электроэнергии и отпуск теплоэнергии на  w – электростанции с использованием  j –вида (месторождения) топлива.

     Обратим внимание на взаимосвязь первой и  третьей групп неизвестных величин с учетом, например, простейшей зависимости: 

      ,                                                (2)

     

      где  а₀,  а₁ – параметры линейной модели. 

     Неизвестные: объемы выработки электроэнергии каждой  w -электростанцией на  j -топливе: Э_WJ,  при w = 1,2,3,4;  при     j = 1,2,3. 

     Целевая функция: 

                                                      ₍₃₎ 

     Группы  ограничений:

     1)          при j = 1,2,3; 

     2)      ; 

     3)           при w = 1,2,3,4; 

     4)         при w = 1,2,3,4;    при j = 1,2,3 

     или (второй вариант ограничений): 

      , при w = 1,2,3,4.                                      

     Минимальную долю выработки электроэнергии на одном  виде топлива      принять последовательно 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; решить задачу последовательно 4 раза и выбрать вариант, при котором топливные затраты минимальны.

     Расчет  ведем по второму варианту ограничений

     Условия не отрицательности  неизвестных: