Этапы прикладного математического исследования

Выявлению числа степеней свободы родственно выявление симметрии изучаемой модели, точнее — выявление группы преобразований, относительно которой эта модель инвариантна. Наличие такой группы позволяет, например, перейти от пространственной задачи к плоской или осесимметричной, от произвольных эволюционных систем к автономным и т. п. Это порой дает возможность существенно упростить исследование, как аналитическое, так и численное, в частности потому, что снижение пространственной размерности задачи на единицу обычно сокращает объем вычислений на два-три порядка.

8. Иерархия переменных. Существенное упрощение модели часто может быть достигнуто также и после того, как выбраны определяющие параметры, характеризующие изучаемый класс явлений, и составлена связывающая эти параметры замкнутая система математических соотношений. Дело в том, что значимость различных определяющих параметров, а также их изменения во времени или в пространстве для интересующей нас характеристики может быть существенно различной. Правильный учет этих обстоятельств дает возможность в ряде случаев, когда непосредственное изучение математической модели является чрезмерно сложным, получить решение задачи шагами, путем последовательного усложнения модели. При этом в первом, наиболее грубом и зачастую наиболее ответственном рассмотрении стараются принимать во внимание по возможности меньшее число величин, наиболее существенных для предпринятого исследования; зависимости между этими величинами также принимаются по возможности более простыми. Эти величины и эти зависимости естественно называть основными.

Отбор и отбрасывание в  грубой модели малых влияний и  взаимодействий содержит ряд трудно формализуемых элементов и рациональных рассуждений; интуиция и основанные на исследовательском опыте разумные традиции позволяют производить такие отбрасывания, не приводящие к существенным ошибкам даже без тщательного математического анализа в каждом конкретном случае. Остановимся особо на учете темпа изменения переменных по временной и пространственным координатам в процессе формирования основных величин. С этой целью заметим, что обычно при постановке задачи определяются  некоторые характерные значения — основные масштабы соответственно временной t и пространственной l протяженностей. Эти масштабы, играющие важнейшую роль при построении грубой модели, существенно зависят как от моделируемого объекта, так и от изучаемых характеристик. Если основные масштабы известны, то могут быть выделены переменные с «нормальным», «медленным» и «быстрым» темпами изменения. Так, если некоторая переменная величина q, зависящая, например, от времени t, имеет характерный диапазон изменения q, то за основной масштаб скорости (нормальный темп) изменения величины q естественно принять такую скорость также будем называть основной. Величины того же смысла, что и q, скорость изменения которых значительно меньше будем называть медленными, а величины, скорость изменения  которых  значительно  больше ,— быстрыми. В основных зависимостях ведущую роль, естественно, должны играть величины, изменяющиеся с основными скоростями; медленно изменяющиеся в пространстве или во времени величины могут быть учтены чисто параметрически (т. е., по существу, приняты за постоянные), а быстро изменяющиеся, например колеблющиеся, величины — своими осредненными по тому или иному правилу эффективными значениями, меняющимися с основной скоростью.

Описанный процесс формирования основных переменных и основных соотношений схематически представлен на рис. 16. Там же указаны переменные, привлекаемые к рассмотрению при построении более точной модели, чем первоначальная, если, конечно, в таком уточнении есть надобность. Эти уточняющие переменные могут относиться к следующим четырем типам:

а) Поправки к медленным  переменным, учитывающие их изменение во времени или в пространстве более точно, чем в грубой модели.

б)  Поправки к быстрым  переменным, учитывающие отклонение их воздействия от среднего, принятого  во внимание с помощью основных переменных.

в)  Добавки к основным переменным, влияние которых на изучаемую характеристику системы считалось столь малым, что при грубом рассмотрении они игнорировались; эти добавки, как и рассматривавшиеся ранее, могут меняться во времени или в пространстве с основной скоростью, быстро или медленно.

г) Дополнительные определяющие переменные, привлекаемые для уточнения  грубой модели.

Таким образом, устанавливается  как бы некоторая иерархия переменных как по скорости их изменения, так  и по их значимости в предпринятом исследовании. Конечно, эта иерархия, как и отнесение переменных к указанным выше классам, не имеют абсолютного характера, а могут существенно зависеть от выбора тех характеристик, которые намечено изучать, и от аспекта их изучения: этот выбор определяет не только относительную значимость различных переменных, но и характерные значения пространственно-временных протяженностей.