Контрольная работа по "Экономико - математические методы и модели"

∑х = 1362 ∑у = 93.2

Qx = √1477,6/9 = 12,81

 

Qy = √0,656/9 = 0,27

 

     Рассчитаем коэффициент корреляции:

rxy =(1271,55-1269,38)/(12,81*0,27) = 0,627

 

Вычислим ошибку коэффициента корреляции:

Sr =(1-0.627²)/√9 ≈ 0.202

 

     Рассчитаем величину t-критерия:

t=0,627/0,202 ≈ 3,10

     Табличное значение критерия =2,306, следовательно коэффициент корреляции значимо отличен от нуля.

     Расчет уравнения регрессии:

     Для расчета коэффициента регрессии будем пользоваться методом квадратов, суть которого состоит в том, чтобы подобрать такое аналитическое выражение зависимости между исследуемыми показателями, для которого сумма квадратов отклонений значений зависимости переменной y, вычисленных по этому выражению от значений, определяемых по данным наблюдений, была бы минимальной, т.е.

 

где yi –значение переменной в i-ом наблюдении;

yi´ -- значение переменной, определенное расчетом при i-ом значении x

n – число наблюдений.

     Если предполагается, что связь линейная, т.е.

 

     то задача отыскания уравнения связи состоит в расчете таких значений коэффициента a0 и a1 при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений y от фактического была бы минимальной.

     Произведем расчет коэффициента регрессии:

аi =21,66/1477,6 ≈ 0,0146

а0 =9,32-0,0146*136,2 ≈ 7,33

Проверим значимость коэффициента регрессии. Вычислим ошибку коэффициента:

 

 

Данные для расчета  сведем в таблицу:

Таблица 2.2.

Вычислим остаточную сумму квадратов:

∑(уфакт –урасч)²= (0,3384)² = 0,1145

 

Отсюда Sа₁=√0,1145/(8*1477,6) = 0,0031

ta= 0,0146/0,0031= 4,709

Табличное значение критерия равно 2,106. расчетное значение больше табличного, коэффициент регрессии  значимо отличен от нуля.

Рассчитаем коэффициент  эластичности:

Э=0,0146*(136,2/9,32)=0,213

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов  увеличивается у при увеличении х на 1 процент.

 

     Ответ: проведенный анализ показывает, что величина рентабельности предприятия тесно связана с производительностью труд (коэффициент корреляции 0,627). Из полученного уравнения регрессии у=7,33+0,0146х следует, что увеличение производительности труда на 1 тыс. рублей приводит к повышению рентабельности на 0,0146 тыс. рублей. Изменение производительности труда на 1 % приводит к увеличению рентабельности на 0,213 %.

Для проведения корреляционно-регрессионного анализа в EXCEL воспользуемся возможностями Пакета анализа.

1. Разместим в ячейках  А2:В13 таблицу значений производительности труда и уровня рентабельности

уровень рентабельности	производительность  труда
y	x
9,3	133
9,2	139
9,5	126
9,6	160
9,1	123
9	132
9,2	133
9,5	131
9,8	158
9	127

2. Выберем команду  Сервис-Анализ данных, в диалоговом  окне выберем инструмент Корреляция. В поле «Входной интервал» введем диапазон ячеек с исходными данными А3:В13, установим флажок «Метки в первой строке» (поскольку выделены и заголовки столбцов), установим переключатель «новый рабочий лист». Из полученной матрицы коэффициентов видно, что зависимая переменная Y имеет достаточно тесную связь с фактором Х (0,69571).

	y	x
y	1
x	0,69571	1

     Проведем  регрессионный анализ.

     В диалоговом  окне Анализ данных выберем  инструмент Регрессия. В поле  «Входной интервал Y» введем диапазон ячеек, характеризующих уровень рентабельности (А3:А13). В поле «Входной интервал Х» введем диапазон ячеек, характеризующих производительность (В3:В13). Установим переключатель «новый рабочий лист». В результате сформировался лист ВЫВОД ИТОГОВ, в котором будут представлены:

Коэффициент корреляции R= 0,695709752531414

Коэффициент детерминированности R²= 0,484012059767322

Критерий Фишера F = 7,50423832850144

Остаточная и регрессионная  сумма квадратов – столбец SS

Коэффициенты уравнения  регрессии (столбец Коэффициенты)

Стандартные ошибки

t-статистика.

    Кроме Пакета  анализа можно воспользоваться  стандартными функциями из категории  «статистические». Приведем функцию  ЛИНЕЙН для расчета уравнения  регрессии и дополнительной статистики  по регрессии для исходного  набора данных «=ЛИНЕЙН(А4:А13;В4:В13;1;1)

В результате получим  таблицу

m	b
0,014659	7,323457
0,005351	0,731725
0,484012	0,205696
7,504238	8
0,317512	0,338488

где в первой строке жирным шрифтом выделены коэффициенты уравнения  регрессии, ниже – коэффициент детерминированности и критерий Фишера. Таким образом уравнение регрессии связывающее уровень рентабельности с производительностью труда, имеет вид:

 

у=0,0146х+7,32

 

 
3. Задача 3.

     Определение оптимального ассортимента трикотажной фабрики методами линейного программирования.

    Трикотажная фабрика предлагает предложить потребителям полотна 150 и 90 артикулов. Требуется определить ассортимент указанных тканей, позволяющий фабрике получить максимальную прибыль на имеющемся оборудовании (машины Текстима и Кокетт). При этом следует определить какие артикулы трикотажного полотна и в каких объемах нужно выпускать на каждой из машин. Исходные данные приведены в таблицах 3,3.1.

Таблица 3.

Артикулы полотна	Величина выработки в т.р. при выработке 1 т полотна на машине		Фактическая производительность в  кг/час машины
	Текстима	Кокетт	Текстима	Кокетт
150	13,40	13,46	2,42	3,76
90	7,06	7,17	4,08	7,66

 

 Таблица 3.1,(вариант №3)

Машины	Фонд рабочего времени, (маш/час)
Текстима	8608
Кокетт	5642

 

     Решение:

     1)Составим  экономико-математическую модель  задачи.

    Введём следующие  обозначения:

х₁ – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине Текстима (т);

х₂ – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине Текстима (т);

х₃ – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине Кокетт (т);

х₄ – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине Кокетт (т);

     Составим  целевую функцию, выражающую прибыль,  получаемую от выпуска всей  продукции:

L_(x) = 13,4 х₁ +7,06 х₂ + 13,46 х₃ + 7,17 х₄ → max

     Составим  ограничение на фонд машинного  времени имеющегося оборудования:

- для машины Текстима 1000х₁/2,42 + 1000х₂/4,08 ≤ 8608

- для машины Кокетт 1000х₃/3,76 + 1000х₄/7,66 ≤ 5642

    Так как неизвестные выражают выпуск продукции, то х₁, х₂,х₃,х₄  ≥ 0

     Преобразуем  ограничения – неравенства в  равенстве путём ввведения дополнительных  неизвестных х₅ и х₆ , выполнив соответствующие арифметические операции.

 

L_(x) = 13,4 х₁ +7,06 х₂ + 13,46 х₃ + 7,17х₄ + х₅ + х₆→ max

     ограничения:

413,22 х₁ + 245,09х₂ + х₅ ≤ 8608                  (1)

265,96х₃ + 130,55х₄ + х₆  ≤ 5642

х₁, х₂,х₃,х₄ , х₅, х₆, ≥ 0

     В результате получим математическую модель, представляющую общие задачи программирования.

     Решим задачу  симплекс-методом. Этапы задачи  оформим в виде симплекс таблиц 3.2-3.5.

Таблица 3.2.

Базисн. Неизв. Вв	х1	х2	х3	х4	х5	х6	свободный член
х5	413,22	245,09	0	0	1	0	8606
х6	0	0	265,96	130,54	0	1	5642
−L	13,4	7,06	13,46	7,17	0	0	0

Таблица 3.3.

Базисн. Неизв. Вв	х1	х2	х3	х4	х5	х6	свободный член
х5	413,22	245,09	0	0	1	0	8606
х3	0	0	1	0,49	0	0,004	21,21
−L	13,4	7,06	0	0,57	0	-0,5	-285,49

Таблица 3.4.

Базисн. Неизв. Вв	х1	х2	х3	х4	х5	х6	свободный член
х5	1	0,59	0	0	0,002	0	20,83
х2	0	0	1	0,49	0	0,004	21,21
−L	0	-0,85	0	0,57	0,027	-0,05	-564,61

Таблица 3.5.

Базисн. Неизв. Вв	х1	х2	х3	х4	х5	х6	свободный член
х1	1	0,59	0	0	0,002	0	20,83
х4	0	0	2,04	1	0	0,08	43,29
−L	0	-0,85	-1,16	0	-0,027	-0,05	-589,29