Методы оптимизации

Контрольная работа №3

Задача 27

     Найти общее решение дифференциального  уравнения  и написать уравнение интегральной кривой, проходящей через точку M(1; e).

Решение:

Данное уравнения является уравнением с разделяющимися переменными. Заменим на и разделим переменные

Проинтегрировав обе части равенства, получим:

.

Это общий интеграл дифференциального уравнения.

Чтобы найти  частное решение, подставим вместо x и y начальные условия

.

Значит, частное  решение получится следующее:

или

.

Задача 57

     Найти частное решение линейного однородного  дифференциального уравнения второго  порядка с постоянными коэффициентами:

,

удовлетворяющее заданным начальным условиям , .

Решение:

     Сначала найдем общее решение данного  уравнения, для чего воспользуемся  характеристическим уравнением. Для  этого  заменим на , на и на 1. В результате чего получим:

.

     Найдем  корни характеристического уравнения: .

     Так как корни характеристического  уравнения комплексные, то общее  решение имеет вид:

,

где C₁, C₂ – произвольные постоянные.

     Найдем  производную:

.

Запишем оба  уравнения в систему:

     Чтобы найти частное решение, в систему  подставим начальные условия. Получим:

     Из  этой системы найдем значения C₁ и C₂, и подставим их в общее решение вместо констант C₁ и C₂ соответственно.

Отсюда:

, .

     Значит, частное решение данного уравнения:

.

Задача 87

     На  изготовление двух видов продукции  P₁ и P₂ требуется три вида сырья S₁, S₂ и S₃. Запасы каждого сырья ограничены и составляют соответственно условных единиц. При заданной технологии количество сырья, необходимое для изготовления единицы каждого из видов продукции, известно и задано в таблице:

     В последней строке таблицы указаны  значения прибыли, выраженной в условных денежных единицах и получаемой предприятием от реализации единицы каждого вида продукции.

     Требуется составить такой план выпуска  продукции видов P₁ и P₂, при котором прибыль от реализации всей продукции была бы максимальной.

Решение:

     Обозначим через x₁ и x₂ количество единиц продукции видов P₁ и P₂, планируемое к выпуску. На изготовление x₁ единиц продукции вида P₁ должно расходоваться x₁ единиц сырья вида S₁, так как на изготовление единицы продукции вида P₁ расходуется A₁₁ = 1 единицы сырья вида S₁. Аналогично на изготовление x₂ единиц продукции вида P₂ должно расходоваться 3x₂ единиц сырья вида S₁, так как A₁₂ = 3. Следовательно, на изготовление x₁ единиц продукции вида P₁ и x₂ единиц продукции вида P₂ должно расходоваться x₁ + 3x₂ единиц сырья вида S₁, запасы которого равны b₁ = 18. Поэтому должно выполняться следующее неравенство:

.

     Для остальных видов сырья S₂ и S₃ должны выполняться неравенства:

 и  .

     Очевидно  также, что величины x₁ и x₂ должны быть неотрицательны, то есть должны выполняться неравенства .

     Объединим полученные неравенства в систему:

     Прибыль от реализации x₁ единиц продукции вида P₁ равна x₁, так как C₁ = 1, а прибыль от реализации x₂ единиц продукции вида P₂ равна x₂, так как C₂ = 1. Следовательно, суммарная прибыль предприятия от реализации продукции, выпущенной согласно плану (x₁; x₂), равна F(x₁; x₂) = x₁ + x₂ условных денежных единиц.

     По  условию задачи требуется найти  такой план (x₁; x₂), при котором прибыль F(x₁; x₂) = x₁ + x₂ была бы максимальной:

.

     Таким образом, математическая модель нашей  задачи является задачей линейного  программирования:

     Область решения системы ограничений, т.е. совокупность всех планов задачи, представляет собой выпуклый многоугольник на плоскости x₁Ox₂ . Построим область решений первого неравенства системы ограничений . Сначала построим прямую, заданную уравнением .

     Для определения полуплоскости решений  нашего неравенства возьмем произвольную точку плоскости, не лежащую на прямой , например, (0;0). Подставив ее координаты в неравенство , получим верное числовое неравенство , а это означает, что начало координат лежит в полуплоскости решений рассматриваемого неравенства. Противоположную полуплоскость мы заштрихуем.

     Аналогично строим полуплоскости решений остальных неравенств системы ограничений, каждый раз заштриховывая «ненужную» полуплоскость (прямые и имеют соответственно номера II и III). Оставшаяся не заштрихованной часть плоскости представляет собой искомый многоугольник.

     Теперь среди точек построенного многоугольника OABCD мы будем искать ту точку, в которой целевая функция задачи F(x₁; x₂) = x₁ + x₂ достигает своего максимального значения. Для каждой точки плоскости x₁Ox₂ целевая функция F(x₁; x₂) принимает фиксированное значение. Множество точек, на которых F(x₁; x₂) принимает фиксированное значение F₁, есть прямая F₁ = x₁ + x₂, которая перпендикулярна вектору . Если прямую F₁ передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора , то целевая функция F(x₁; x₂) будет возрастать, а в противоположном направлении – убывать. Построим прямую F₁ для того случая, когда F₁ = 0, т.е. построим прямую x₁ + x₂ = 0.

     Как видно из рисунка, при передвижении прямой F₁ в положительном направлении вектора целевая функция достигнет своего наибольшего значения в точке пересечения прямых , и , .

     Решив системы:

 

найдем  координаты точки A(3;5) и B(5;3). Максимальное значение целевой функции условных денежных единиц.

Ответ:

Для достижения максимальной прибыли от реализации готовой продукции предприятию необходимо выпустить 5 единиц продукции вида P₁ и 3 единицы продукции вида P₂ или 3 единиц продукции вида P₁ и 5 единицы продукции вида P₂, при любом из этих планов прибыль от реализации составит 8 условных денежных единиц.