Модель динамика популяций

 8.Модель Ферхюльста (рождаемость и смертность с учетом роста численности)

Постановка  задачи 
Как правило, численность популяции зависит не только от рождаемости и смертности, но и от ограниченности пищевых и других ресурсов. Вскоре за созданием модели Мальтуса, бельгийский математик Ферхюльст задался вопросом: будет ли население Бельгии расти неограниченно? Ответом на этот вопрос было создание новой модели динамики численности популяции при ограниченных ресурсах, описываемая следующим уравнением: 
dN/dt=r*N-m*N²(1)  
r - удельная скорость роста численности 
N - численность популяции 
m - число встреч членов популяции, при котором они могут конкурировать за какой-либо ресурс 
уравнение это отличается от уравнения экспотенциального роста (уравнения Мальтуса) выражением m*N², которое как раз и отражает ограниченность ресурсов. 
Перепишем уравнение (1) так: 
dN/dt=N(r-m*N) (2) 
Выражение в скобках - это удельная скорость роста популяции. Причем чем больше численность популяции (N), тем меньше скорость роста .Если в правой части уравнения вынести за скобки выражение r  
dN/dt=N*r(1-N*m/r)  
и обозначить m/r за 1/K, то уравнение (1) можно переписать так: 
dN/dt=N*r(1-N/K) (3) 
При малых N значением N/K можно пренебречь, и тогда рост численности идет по экспоненциальному закону, при возрастании N и неизменном K рост численности будет замедляться, и при N близком к К рост остановится. Величину К называют емкостью среды. Она отражает возможности среды обитания предоставить популяции нужные для ее роста ресурсы.  
Уравнение (3) графически отображается в виде S- образной кривой. Эта кривая называется логистической кривой, а рост численности ,соответствующий уравнению (3) - логистическим. 
Исследуя кривую, можно сказать , что максимальная скорость роста достигается , когда численность равна K/2. В некоторый момент численность стабилизируется и остается постоянной величиной. 
Популяции, существующие в условиях ограниченных ресурсов, часто хорошо подчиняются правилам логистического роста. Например, когда овцы были завезены в Тасманию, рост их стада описывался логистической кривой. 
Но правила логистического роста приложимы не ко всем случаям. Например, у размножающихся половым путем видов, при слишком малой численности мала вероятность встреч особей разного пола и размножение может вообще прекратиться.  
Для реализации модели в среде электронных таблиц уравнение (3) следует представить в дискретном виде 
N(i+1)=N(i)*r*(1-N(i)/K) (4) 
где N(i) - численность популяции в i-й момент времени; 
r -удельная скорость роста популяции (рождаемость/ смерность); 
К - емкость среды 
Компьютерная модель 4

 
Для этой модели нужно взять побольше временной диапазон ,т.к. она наглядна на длинном промежетке времени  

9. Заключение.

10.Список литературы

Перцев Н.В. Применение одного дифференциального уравнения  с последействием в моделях динамики популяций // Фундаментальная и прикладная математика / Ред. А.К. Гуц. Омск, 1994. С.119 - 129.

Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

Berman A., Plemmous R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. New York, Academic Press, 1979.

Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983.

Cooke K., Yorke A. Some equations Modelling Growth Processes and Gonorhea Epidemics // Math. Biosci., 1973. V.16. P.75 - 101.

Для подготовки данной работы были использованы материалы  с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/

http://mialo.narod.ru/ped/models/popul.htm