Модели нелинейного программирования

    

                         

             

             

                         

 
 

     

Множество точек, удовлетворяющих системе  неравенств (2) на рис. заштриховано - это четырехугольник ABCD. F – линия уровня, направление возрастания которой указывает вектор-градиент а(2;-1). При движении F в направлении обратном а видим, что в последний раз F пересекает область четырехугольника ABCD в точке А. Найдем координаты точки А:

  x₁ +x₂ =4

  2x₁ -x₂ =2   =>  x₁=2 ; x₂=2 и А(2;2).

Таким образом, max F= F(А)= F(2;2)=2•2-2=2. Решение то же. 
 
 

Задача  №6.1

  Предприятие для производства продукта А расходует  два средства в количестве и соответственно. Факторы производства считаются взаимозаменяемыми.

  Объем производства, выраженный в натуральных  единицах, является функцией затрат производства и представлен следующей производственной функцией: где - затраты факторов, - цены этих факторов, которые составили 1 и 2 соответственно. Совокупные издержки выражаются формулой , причем b = 4.

  Требуется при данных совокупных издержках  определить такое количество факторов производства, которое максимизирует объем продукции z. 

Решение:

   Перед нами стоит задача определения  максимума функции

при ограничении .

Составим  функцию Лагранжа:

  .

   Найдем частные производные функции Лагранжа по переменным . Приравняв к нулю полученные выражения, получим систему:

     (*)

   Из последнего равенства системы имеем: . Подставим полученное выражение в два первых равенства системы:

1) ;

2)

и .

Система (*) запишется в виде:

     (**)   

     Системе (**) удовлетворяют 3 пары  переменных:

1. .

2. .

3. .

       Таким образом, решение системы (*) следующее:

1. .

2. .

3. .

      В точке функция имеет условный экстремум, и ее значение в этой точке равно:  .

      Определим характер экстремума, изменяя полученные значения  переменных. Возьмем , например, . Тогда с учетом ограничения имеем и Отрицательные значения переменная принимать не может. Следовательно, - условный минимум.

      В точке функция имеет условный экстремум, и ее значение в этой точке равно:  .

      Определим характер экстремума, изменяя полученные значения  переменных. Возьмем , например, . Тогда с учетом ограничения имеем и Отрицательные значения переменная принимать не может. Следовательно, - условный минимум.

      В точке функция имеет условный экстремум, и ее значение в этой точке равно:  .

      Определим характер экстремума, изменяя полученные значения  переменных. Возьмем , например, . Тогда с учетом ограничения имеем и Возьмем , например, . Тогда с учетом ограничения имеем и Следовательно, - условный максимум. 

Вывод: При данных издержках для максимизации объема продукции необходимы 2 единицы 1-ого фактора и 1 единица 2-ого фактора. Тогда объем продукции максимален и составит 4.

  Задача №8.3

    Для сетевого графика (рис.1) найти все  полные пути, критический путь; рассчитать ранние и поздние сроки свершения событий, начала и окончания работ; определить резервы времени полных путей и событий, резервы времени (полные, частные резервы первого вида, свободные и независимые) работ и коэффициенты напряженности работ. 
 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Рис. 1. Сетевой график по выполнению проекта 

Решение:

     При построении сетевого графика  необходимо соблюдать ряд правил, в том числе следующее: каждая работа должна выходить из события с меньшим номером и входить в событие с большим номером. В данном случае это правило не выполнено для работ, соединяющих события 9 и 7, 7 и 6. Поменяв события 6 и 9 местами, мы устраним этот недочет. Таким образом, имеем сетевой график: 
 
 

      
 
 

    

      
 
 
 
 
 
 
 
 

    Рис.2. Сетевой график по выполнению проекта 

Полные  пути, их длины (Т) и резервы времени (R):

1. 0-1-4-5-11  ; .

2. 0-1-5-11  ; .

3. 0-2-9-11  ; .

4. 0-2-7-9-11  ; .

5. 0-3-6-7-9-11  ; .

6. 0-3-6-10-11  ; .

7. 0-3-8-10-11  ; .

Критический путь:  0-2-7-9-11 и его длина . 

Составим таблицу для работ: 

 

Коэффициент напряженности работы найдем по формуле:

, где  - продолжительность максимального пути, проходящего через данную работу, - суммарная длина критических работ, находящихся на самом длинном пути, проходящем через данную работу.

Тогда

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

Составим таблицу для событий:

 

      Для нахождения независимого (частного  первого вида) резерва времени  работы воспользуемся формулой: .

      Для нахождения свободного (частного  второго вида) резерва времени  работы воспользуемся формулой: . 
 
 
 
 
 

 Тогда