Парная регрессия и корреляция

РОССИЙСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИННОВАЦИОННЫХ  ТЕХНОЛОГИЙ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА

Пензенский  филиал 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ОТЧЕТ

о выполнении лабораторной работы № 1

по дисциплине «Прогнозирование социально-экономического развития»

Тема: «Парная регрессия и корреляция» 
 
 
 
 
 

Выполнили: ст-ки гр. 06Э1

                     Давыдова Галия,

                     Матюкина Наталья

Проверил:    Е.А.Балашова 
 
 
 

2010 г.  
Вариант № 5

По территориям  Приволжского округа известны данные за 1999г.

Таблица 1

 

   1. Для характеристики зависимости y от x рассчитать параметры следующих функций:

   а) линейной

   б) степенной

   в) показательной

   г) равносторонней гиперболы

   д) экспоненциальной

   е) полулогарифмической

   ж) обратной

   з) гиперболической парной регрессии.

  2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

   3. Дать с помощью среднего (среднего) общего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

   4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

   5. Оценить с помощью F – критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

   6. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.3, 4, 5, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.

  7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости λ= 0,05. 

Выполнение  работы

    Линейное  уравнение парной регрессии имеет вид:

y^=a+bx,

где y^ — оценка условного математического ожидания y;

a, b — эмпирические коэффициенты регрессии, подлежащие определению.

    Эмпирические  коэффициенты регрессии a, b будем определять с помощью инструмента Регрессия надстройки Анализ данных табличного процессора MS Excel.

Алгоритм  определения коэффициентов состоит  в следующем.

• Вводим исходные данные в табличный процессор MS Excel.
• Вызываем надстройку Анализ данных
• Выбираем инструмент анализа Регрессия

Рис. 1.

• Заполняем соответствующие позиции окна Регрессия.

Рис. 2.

• Нажимаем кнопку ОК окна Регрессия и получаем протокол решения задачи

Рис. 3.

    Из  рис. 3 видно, что эмпирические коэффициенты регрессии соответственно равны:

a = -550,318184,

b = 1,080581253.

    Тогда уравнение парной линейной регрессии, связывающей величину доходов y и величину расходов x консолидированных бюджетов субъектов РФ, будет иметь вид:

y^ = -550,318184+1,080581253 *x (1)

    Далее, в соответствии с заданием, необходимо оценить тесноту статистической связи между величиной расходов консолидированных бюджетов субъектов РФ x и величиной доходов консолидированных бюджетов субъектов РФ y. Эту оценку можно сделать с помощью коэффициента корреляции r_xy . Величина этого коэффициента на рис.3 обозначена как множественный R и равна 0,9966555. Поскольку теоретически величина данного коэффициента находится в пределах от –1 до +1, то можно сделать вывод о существенности статистической связи между величиной доходов консолидированных бюджетов субъектов РФ x и величиной расходов консолидированных бюджетов субъектов РФ y.

    Параметр R-квадрат, представленный на рис.3, представляет собой квадрат коэффициента корреляции r_xy² и называется коэффициентом детерминации. Величина данного коэффициента характеризует долю дисперсии зависимой переменной y, объясненную регрессией (объясняющей переменной x). R-квадрат в данном примере равен 0,99332223. Это говорит о том, что вариация переменной y практически полностью объясняется вариацией переменной x.

    На  следующем этапе в соответствии с заданием необходимо определить степень связи объясняющей переменной x с зависимой переменной y, используя коэффициент эластичности. Коэффициент эластичности для модели парной линейной регрессии определяется в виде:

Э_yx=b*(x_ср/y_ср)

Рис. 4.

    Тогда        Э_yx = 1,080581253*(8822,643/8983,264)=1,06126

    Следовательно, при изменении расходов на 1% величина доходов изменяется на 1,06126%.

    Далее определяем среднюю ошибку аппроксимации по зависимости:

A=1/n*Σ|((y-y^)/y)|*100%

    Для этого исходную таблицу (таблица 1)дополняем двумя колонками, в которых определяем значения y^, рассчитанные с использованием зависимости (1) и значения разности ((y-y^)/y):

Рис. 5.

    Средняя ошибка аппроксимации – отклонение расчетных значений от фактических.

    Полагают, что значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать 12—15% для грубого приближения регрессии к реальной зависимости. В нашем случае она составляет 1,59%.

    На последнем этапе выполним более строгую оценку статистической надежности моделирования с помощью F-критерия Фишера. Для этого проверим нулевую гипотезу H₀ о статистической незначимости полученного уравнения регрессии по условию: если при заданном уровне значимости α = 0,05 теоретическое (расчетное) значение F-критерия (F_T ) больше его критического значения (F_КРИТ ) (табличного), то нулевая гипотеза отвергается и полученное уравнение регрессии принимается значимым.

    Из рис. 3 следует, что F_T = 1785. Критическое значение F-критерия (F_КРИТ ) определяем с помощью использования статистической функции FРАСПОБР. Входными параметрами функции является уровень значимости (вероятность) и число степеней свободы 1 и 2. Для модели парной регрессии число степеней свободы соответственно равно 1 (одна объясняющая переменная) и n - 2 = 14 – 2 = 12.

Рис. 6.

    Из  рис. 6 видно, что F_КРИТ =4,75.

    Поскольку F_T >F_КРИТ , то нулевая гипотеза отвергается, и полученное регрессионное уравнение статистически значимо.

 

     Показательное уравнение парной регрессии имеет вид:

    Построению  уравнения показательной кривой предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих  частей уравнения:

,

где Y=lgy, C=lga, B=lgb.

    Для расчетов используем данные табл: