Разработка управленческих решений

Выбираем  максимальную оценку свободной клетки (1;2): 1

Для этого  в перспективную клетку (1;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки  «-», «+», «-».

	1	2	3	Запасы
1	3[30][-]	1[+]	3	30
2	5	4	2[25]	25
3	4	3[15]	5	15
4	1[10][+]	5[5][-]	5[15]	30
Потребности	40	20	40

 

Цикл приведен в таблице (1,2; 1,1; 4,1; 4,2; ).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (4, 2) = 5. Прибавляем 5 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 5 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	Запасы
1	3[25]	1[5]	3	30
2	5	4	2[25]	25
3	4	3[15]	5	15
4	1[15]	5	5[15]	30
Потребности	40	20	40

 

Проверим  оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=3	v2=1	v3=7
u1=0	3[25]	1[5]	3
u2=-5	5	4	2[25]
u3=2	4	3[15]	5
u4=-2	1[15]	5	5[15]

 

Опорный план не является оптимальным, так как  существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

Выбираем  максимальную оценку свободной клетки (1;3): 3

Для этого  в перспективную клетку (1;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки  «-», «+», «-».

	1	2	3	Запасы
1	3[25][-]	1[5]	3[+]	30
2	5	4	2[25]	25
3	4	3[15]	5	15
4	1[15][+]	5	5[15][-]	30
Потребности	40	20	40

 

Цикл приведен в таблице (1,3; 1,1; 4,1; 4,3; ).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (4, 3) = 15. Прибавляем 15 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 15 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	Запасы
1	3[10]	1[5]	3[15]	30
2	5	4	2[25]	25
3	4	3[15]	5	15
4	1[30]	5	5	30
Потребности	40	20	40

 

Проверим  оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=3	v2=1	v3=3
u1=0	3[10]	1[5]	3[15]
u2=-1	5	4	2[25]
u3=2	4	3[15]	5
u4=-2	1[30]	5	5

 

Опорный план не является оптимальным, так как  существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

Выбираем  максимальную оценку свободной клетки (3;1): 4

Для этого  в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки  «-», «+», «-».

	1	2	3	Запасы
1	3[10][-]	1[5][+]	3[15]	30
2	5	4	2[25]	25
3	4[+]	3[15][-]	5	15
4	1[30]	5	5	30
Потребности	40	20	40

 

Цикл приведен в таблице (3,1; 3,2; 1,2; 1,1; ).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	Запасы
1	3	1[15]	3[15]	30
2	5	4	2[25]	25
3	4[10]	3[5]	5	15
4	1[30]	5	5	30
Потребности	40	20	40

 

Проверим  оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=2	v2=1	v3=3
u1=0	3	1[15]	3[15]
u2=-1	5	4	2[25]
u3=2	4[10]	3[5]	5
u4=-1	1[30]	5	5

 

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют  условию u_i + v_i <= c_ij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 1*15 + 3*15 + 2*25 + 4*10 + 3*5 + 1*30  = 195

Ответ: Оптимальный план содержит 6 перевозок: от первого поставщика 15 ед. ко второму потребителю и 15 ед. к третьему; от второго поставщика 25 ед. к третьему потребителю; от третьего поставщика 10 ед. к первому потребителю и 5 ед. ко второму; от четвертого поставщика 30 ед. к первому потребителю. При этом общая сумма транспортных расходов минимальна и составляет 195 ден.ед.

 

2. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

 

Динамическое программирование — способ решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи. Он применим к задачам с оптимальной подструктурой (англ.), выглядящим как набор перекрывающихся подзадач, сложность которых чуть меньше исходной. В этом случае время вычислений, по сравнению с «наивными» методами, можно значительно сократить.

Ключевая идея в динамическом программировании достаточно проста. Как правило, чтобы  решить поставленную задачу, требуется  решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объединить решения подзадач в одно общее решение. Часто многие из этих подзадач одинаковы. Подход динамического  программирования состоит в том, чтобы решить каждую подзадачу только один раз, сократив тем самым количество вычислений. Это особенно полезно  в случаях, когда число повторяющихся  подзадач экспоненциально велико.

Метод динамического программирования сверху — это простое запоминание результатов решения тех подзадач, которые могут повторно встретиться в дальнейшем. Динамическое программирование снизу включает в себя переформулирование сложной задачи в виде рекурсивной последовательности более простых подзадач.

Словосочетание «динамическое  программирование» впервые было использовано в 1940-х годах Р. Беллманом для описания процесса нахождения решения задачи, где ответ на одну задачу может быть получен только после решения задачи, «предшествующей» ей. В 1953 г. он уточнил это определение до современного. Первоначально эта область была основана, каксистемный анализ и инжиниринг, которая была признана IEEE. Вклад Беллмана в динамическое программирование был увековечен в названии уравнения Беллмана, центрального результата теории динамического программирования, который переформулирует оптимизационную задачу в рекурсивной форме.

Слово «программирование» в словосочетании «динамическое программирование»  в действительности к "традиционному"программированию (написанию кода) почти никакого отношения не имеет и имеет смысл как в словосочетании «математическое программирование», которое является синонимом слова «оптимизация». Поэтому слово «программа» в данном контексте скорее означает оптимальную последовательность действий для получения решения задачи. К примеру, определенное расписание событий на выставке иногда называют программой. Программа в данном случае понимается как допустимая последовательность событий.

Оптимальная подструктура в динамическом программировании означает, что оптимальное решение подзадач меньшего размера может быть использовано для решения исходной задачи. К примеру, кратчайший путь в графе из одной вершины (обозначим s) в другую (обозначим t) может быть найден так: сначала считаем кратчайший путь из всех вершин, смежных с s, до t, а затем, учитывая веса ребер, которыми s соединена со смежными вершинами, выбираем лучший путь до t (через какую вершину лучше всего пойти). В общем случае мы можем решить задачу, в которой присутствует оптимальная подструктура, проделывая следующие три шага.

1. Разбиение задачи на подзадачи меньшего размера.
2. Нахождение оптимального решения подзадач рекурсивно, проделывая такой же трехшаговый алгоритм.
3. Использование полученного решения подзадач для конструирования решения исходной задачи.

Подзадачи решаются делением их на подзадачи  ещё меньшего размера и т. д., пока не приходят к тривиальному случаю задачи, решаемой за константное время (ответ можно сказать сразу). К примеру, если нам нужно найти n!, то тривиальной задачей будет 1! = 1 (или 0! = 1).

Перекрывающиеся подзадачи в динамическом программировании означают подзадачи, которые используются для решения некоторого количества задач (не одной) большего размера (то есть мы несколько раз проделываем одно и то же). Ярким примером является вычисление последовательности Фибоначчи,   и   — даже в таком тривиальном случае вычисления всего двух чисел Фибоначчи мы уже посчитали   дважды. Если продолжать дальше и посчитать  , то   посчитается ещё два раза, так как для вычисления   будут нужны опять   и  . Получается следующее: простой рекурсивный подход будет расходовать время на вычисление решение для задач, которые он уже решал.

Чтобы избежать такого хода событий  мы будем сохранять решения подзадач, которые мы уже решали, и когда  нам снова потребуется решение  подзадачи, мы вместо того, чтобы вычислять  его заново, просто достанем его  из памяти. Этот подход называетсякэширование. Можно проделывать и дальнейшие оптимизации — например, если мы точно уверены, что решение подзадачи нам больше не потребуется, можно выкинуть его из памяти, освободив её для других нужд, или если процессор простаивает и мы знаем, что решение некоторых, ещё не посчитанных подзадач, нам понадобится в дальнейшем, мы можем решить их заранее.