Риск в игровых моделях

Риск  в игровых моделях. Игры с природой.

Теория  игр

 

          Математический метод изучения  оптимальных стратегий в играх.  Под игрой понимается процесс,  в котором участвуют две и  более сторон, ведущих борьбу  за реализацию своих интересов.  Каждая из сторон имеет свою  цель и использует некоторую  стратегию, которая может вести  к выигрышу или проигрышу —  в зависимости от поведения  других игроков. Теория игр  помогает выбрать лучшие стратегии  с учётом представлений о других  участниках, их ресурсах и их  возможных поступках

 

Игры  с природой

 

       Отличительная особенность игры  с природой состоит в том,  что в ней имеется один активный  игрок (игрок 1), а игрок 2 (природа) не действует сознательно против игрока 1 (по образному выражению А. Эйнштейна, природа сложна, но не злонамеренна), а выступает как не имеющий конкретной цели партнер по игре, который выбирает свои ходы случайным образом. Термин «природа» характеризует некую объективную действительность.

 

Неопределенность  как условие риска

 

        Важность понятия неопределенности обусловлена тем, что на деятельность любой организации влияют неопределенные факторы.  
К ним относятся такие факторы внешней и внутренней среды, значения которых неизвестны или известны  
не полностью. Несмотря на дефицит информации, возможное влияние неопределенных факторов  
на организацию должно учитываться в процессах принятия управленческих решений. Если это происходит, то говорят о принятии решений в условиях неопределенности. Неопределенность выступает необходимым и достаточным условием риска в принятии решений.

Игры  с природой в условиях неопределенности

 

        Если распределение вероятностей  будущих состояний природы неизвестно, вся информация о природе сводится  к перечню ее возможных состояний.  Человек в играх с природой  старается действовать осмотрительно,  второй игрок (природа, например, покупательский спрос) действует  случайно. Таким образом, в сложных  структурах каждому допустимому  варианту решений Xi вследствие различных внешних условий могут соответствовать различные внешние условия (состояния) Вj и результаты аij решений.

 

          Пусть из некоторого материала  требуется изготовить изделие,  долговечность которого при допустимых  затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры  должно иметь изделие из данного  материала.

    Варианты решений  таковы:

    X₁ – выбор размеров из соображений максимальной долговечности, т.е. изготовление изделия с минимальными затратами в предположении, что материал будет сохранять свои характеристики в течение длительного времени;

    Xn – выбор размеров в предположении минимальной долговечности;

     Xi – промежуточные решения.

     Условия (состояния), требующие рассмотрения, таковы:

     В₁ – условия, обеспечивающие максимальную долговечность;

     Вm – условия, обеспечивающие минимальную долговечность;

     Вj – промежуточные условия.

        Под  результатом решения аij здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Xi и условиям Вj и характеризующую экономический эффект (прибыль), полезность или надёжность изделия. Семейство решений описывается некоторой матрицей nxm, которую называют матрицей решений (условия игры задаются матрицей nxm). По аналогии с теорией игр, эта матрица называется платёжной матрицей:

 

 

Условия Варианты	B1	B2	B3		Bj		Bm
X1	a11	a12	a13		a1j		a1m
X2	a21	a22	a23		a2j		a2m
X3	a31	a32	a33		a3j		a3m
Xi	ai1	ai2	ai3		aij		aim
Xn	am1	am2	am3		anj		anm

      Конструктор старается выбрать решение с наилучшим результатом, но, так как ему неизвестно, с какими условиями он столкнётся, он вынужден принимать во внимание все оценки аij, соответствующие варианту Xi.

 

Классические  критерии принятия решений 
Максиминный критерий Вальда

 

      Согласно этому критерию игра с природой ведётся как игра с разумным, причём агрессивным противником, делающим всё для того, чтобы помешать нам достигнуть успеха. Оптимальной считается стратегия, при которой гарантируется выигрыш не меньший, чем «нижняя цена игры с природой».

        Правило выбора решения в соответствии  с критерием Вальда (максиминным критерием):

        Правило выбора в соответствии  критерием Вальда. Матрица решений (платёжная матрица) дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов аir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты, в строках которых стоят наибольшие значения аir этого столбца.

 

Критерий  пессимизма-оптимизма Гурвица

 

       Представляется логичным, что при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации придерживаться некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего, благоприятного поведения природы. Такой компромиссный вариант и был предложен Гурвицем. Согласно этому подходу для каждого решения необходимо определить линейную комбинацию min и max выигрыша и взять ту стратегию, для которой эта величина окажется наибольшей, т.е. стараясь занять уравновешенную позицию, Гурвиц предложил критерий (HW), оценочная функция которого находится где-то между точками предельного оптимизма и крайнего пессимизма.

       Правило выбора согласно критерию  Гурвица (HW – критерия) формулируется  следующим образом:

       Матрица решений дополняется  столбцом, содержащим средние взвешенные  наименьшего и наибольшего результатов  каждой строки. Выбираются те  варианты Xi, в строках которых стоят наибольшие элементы a_ir этого столбца.

 

 

Критерий  Сэвиджа (критерий минимакса риска)

 

           На практике, выбирая одно из возможных решений, часто останавливаются на том, осуществление которого приведет к наименее тяжелым последствиям, если выбор окажется ошибочным. Этот подход к выбору решения математически был сформулирован американским статистиком Сэвиджем (Savage) в 1954 году и получил название принципа Сэвиджа. Он особенно удобен для экономических задач и часто применяется для выбора решений в играх человека с природой.

           По  принципу Сэвиджа каждое решение характеризуется величиной дополнительных потерь, которые возникают при реализации этого решения, по сравнению с реализацией решения, правильного при данном состоянии природы. Естественно, что правильное решение не влечет за собой никаких дополнительных потерь, и их величина равна нулю.

           При  выборе решения, наилучшим образом  соответствующего различным состояниям  природы, следует принимать во  внимание только эти дополнительные  потери, которые по существу, будут  являться следствием ошибок выбора.

           Для  решения задачи строится так  называемая “матрица рисков”,  элементы которой показывают, какой  убыток понесет игрок (ЛПР)  в результате выбора неоптимального  варианта решения.

 

Критерий  Лапласа

 

        В ряде случаев представляется  правдоподобным следующее рассуждение:  поскольку неизвестны будущие  состояния природы, постольку  можно считать их равновероятными.  Этот подход к решению используется  в критерии “недостаточного основания” Лапласа.

        Гипотеза о равновероятности состояний природы является довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.

 

Критерий  Байеса-Лапласа

 

       Этот критерий отступает от  условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным  состояниям природы можно приписать  определенную вероятность их  наступления и, определив математическое  ожидание выигрыша для каждого  решения, выбрать то, которое обеспечивает  наибольшее значение выигрыша.

     Этот метод предполагает возможность использования какой-либо предварительной информации о состояниях природы. При этом предполагается как повторяемость состояний природы, так и повторяемость решений, и, прежде всего, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях природы.

       Поскольку  различные критерии связаны с  различными условиями, в которых  принимается решение, лучшее всего  для сравнительной оценки рекомендации  тех или иных критериев получить  дополнительную информацию о  самой ситуации. В частности, если  принимаемое решение относится  к сотням машин с одинаковыми  параметрами, то рекомендуется  применять критерий Байеса-Лапласа.  Если же число машин не велико, лучше пользоваться критериями  минимакса или Сэвиджа.

Список источников

 

1. www.sed.mgau.ru

2. www.math.immf.ru

3. www.nto.immpu.sgu.ru

4. www.yourforexschool.com

5. www.postmodern.narod.ru