Сызықтық емес регрессия

Жоспар 
 

1. Кіріспе
2. Экономикалық айнымалылар арасындағы сызықтық емес байланыстар
3. Параметрлер бойынша сызықтық емес модельдер  
4. MS EXCEl көмегімен сызықтық емес регрессияны тұрғызу
5. Қорытынды
6. Пайдаланылған әдебиеттер

 
 
 
 
 

Кіріспе 

     Мәліметтерді, олардың статистикалық параметрлерін есекерумен бірге, аппроксимациялау регрессияның мақсаттарына жатады. Олар көбінесе табиғаты статистикалық немесе кедергілердің жоғары деңгейіндегі физикалық үдерістерді немесе құбылыстарды (радиометрияда және ядрролық физикада) өлшеу негізінде алынған эксперименталды мәліметтерді өңдеу кезінде пайда болады. Регрессиялық талдаудың мақсаты эксперименталды мәліметтерді неғұрлым жақсы сипаттайтын математикалық формулаларды таңдау болып табылады.

Регрессия мәселесінің математикалық қойылымы келесіде. Y Кездейсоқ оқиғаның немесе табиғи құбылыстың үдеріс  шамасының (сандық мәнінің) кездейсоқ үдеріске қатысты бола алатын айнымалылық сипатқа ие болатын Х параметріне тәуелділігі yk мәндерінің көпшілігі арқылы xk нүктелерінің тіркелген. Сонымен қатар, yk және xk тіркелген мәндері көбінесе нормальді заң бойынша үлестірілген k кездейсоқ қателікке ие Y(хk) шын мәндерін көрсетеді. yk мәндерінің жиыны бойынша Y(x) тәуелділігі ең минималды қателікпен анықталатын f(xk, a0, a1, …, an) функциясын таңдау талап етіледі. Осыдан жақындау шарты шығады:

yk = f(xk, a0, a1, …, an) + sk

     f(xk, a0, a1, …, an) функциясын у шамасының х шамасына регрессиясы деп атайды. Регрессиялық талдау f(xk, a0, a1, …, an) функция түрін беруді және yk мәндерінің жиынына жақындаудың ең аз қателігін қамтамасыз ететін оның a0, a1, …, an, параметрлерінің сандық мәндерін анықтауды қарастырады. Көбінесе, регрессиялық талдау кезінде жақындаудың қателігі ең кіші квадраттар әдісімен (ЕККӘ) есептелінеді. Ол үшін қалдық қателердің функциясын минимизациялау жүргізіледі:

s(a0, a1, …, an) = [f(xk, a0, a1, …, an) - yk] 2.

a0, a1, …, an параметрлерін анықтау үшін қалдық қателердің функциясы барлық параметрлер бойынша дифференцияланады, алынған дербес туындылардың теңдеулері нөлге теңестіріледі және барлық параметрлер мәндеріне қатысты жиынтық түрде шешіледі. Регрессияның түрлері, көбінесе, аппроксимациялайтын функциялар типі бойынша аталады: полиноминалды, экспоненциалды, логрифмдік және тағы басқалары.

Экономикалық  айнымалылар арасында сызықтық емес байланыстар 

     Экономикалық  айнымалылар арасында байланыс түрлерін орнату – оңай мәселе емес. Бұған  дейін біз сызықтық регрессиялық модельдерді қарастырдық. Оларда айнымалылар  бірінші дәрежелі болды (айнымалылар  бойынша сызықтық модельдер), ал параметрлер осы айнымалылардағы коэффициенттер түрінде болды (параметрлер бойынша сызықтық модельдер). Алайда әлеуметтік-экономикалық құбылыстар мен үдерістер арасындағы арақатынасты сызықтық функциялар арқылы әрқшан бейнелеуге болмайды. Мұндай жағдайда өте үлкен қателіктер пайда болуы мүмкін.

     Мысалы, сызықтық емес функция болып өндірістік функциялары (өндірілген өнім көлемі мен негізгі өндіріс факторлары – еңбек, капитал және тағы басқалары арасындағы тәуелділіктер), сұраныс функциялары (тауарлар мен қызметтерге және олардың бағалары немесе табыстары арасындағы тәуелділік) және тағы басқалары табылуы мүмкін.

     Сызықтық  емес модельдер параметрлерін бағалау  үшін екі әдіс қолданылады.

     Бірінші әдіс модельді линеаризациялауға негізделген. Бұл әдіс бойынша берілген айнымалыларды сәйкес түрлендіру арқылы зерттеліп жатқан тәуелділікті түрлендірілген айнымалылар арасындағы сызықтық арақатынас ретінде көрсетіледі.

     Екінші  әдіс сәйкес линеаризациялық түрлендіруді таңдау мүмкін емес болған жағдайда қолданылады. Мұндай жағдайда берілген айнымалылар негізіндегі сызықтық емес оптимизация әдістері қолданылады.

     Модельді  бірінші әдіс шеңберінде модельді линеаризациялау  үшін айнымалылар бойынша сызықтық емес модельдер де, параметрлер бойынша  сызықтық еместері де пайдаланылуы мүмкін.

     Егер  модель айнымалылар бойынша сызықтық емес болса, онда оны сызықтық модельге келтіруге болады. Алынған модельдің  параметрлерін ең кіші квадраттар әдісі  бойынша бағалауға болады.

     Мысалы, бізге  регрессиялық моделінің параметрлерін бағалау керек болса, онда біз   жаңа айнымалыларды енгізе отырып сызықтық моделін аламыз.

     Сондай-ақ, осындай айнымалыларды алмастырудың кемшілігі бар екенін айта кеткен жөн. Себебі b бағалар векторы берілген айнымалылар бойынша ауытқулардың квадраттар сомасын минимизациялаудан емес, түрлендірілген айнымалылар бойынша  ауытқулардың квадраттар сомасын минимизациялаудан болады. Мұндай алынған көрсеткіштер бірдей емес болады. Осыған байланысты алынған бағаларды  нақтыландырудың қажеттілігі тындайды.

     Егер  экономикалық құбылыстар арасында сызықтық емес арақатынастар бар болса, онда олар сәйкес сызықтық емес функциялар арқылы бейнеленеді. Осыған байланысты барлық сызықтық емес регрессиялар екі түрге бөлінеді:

1. түсіндіру айнымалылары бойынша сызықтық емес, бірақ бағаланатын параметрлер бойынша сызықты регрессиялар:
• әр түрлі дәрежедегі полиномдар
• тең жақты гипербола
2. бағалау параметрлері бойынша сызықтық емес регрессиялар:
• дәрежелі
• көрсеткішті
• экспоненциалды

 

     Модельдің параметрлер бойынша сызықтық емес болуы күрделірек мәселе болып табылады. Себебі ең кіші квадраттар әдісін тікелей қолдану мүмкін емес. Мұндай модельдердің қатарына мультипликативті (дәрежелі) модельді жатқызуға болады.

     Түсіндіруші айнымалылар (бірінші классты) бойынша  сызықтық емес регрессияның параметрлерін бағалау ең кіші квадраттар әдісі арқылы жүргізіледі. Себебі бұл функциялар параметрлер бойынша сызықтық болып табылады.

     Қандай  да бір к-ші полиномы (көпмүшесі) үшін  айнымалыларын алмастыру арқылы көп мүшелік регрессияның сызықтық моделін аламыз:

     Демек, қандай да бір реттік полиномы бағалау әдістері мен гипотезаларды тексерумен бірге сызықтық регрессияға апарады.  
 

     Х  Тәуелсіз айнымалыға қатысты көпмүшелер (полиномдар) 

     Теоретикалық  сызық екінші ретті көпмүшемен сипатталатын жағдайы үшін ЕККӘ қолданылуын қарастырайық. Екінші дәрежелі параметрлерді бағалау үшін ЕККӘ олдану келесі нормальді теңдеулер жүйесіне алып келеді:

     Оны шешу Гаусс, Зейдель, жай итерация, кері матрицаны табу  және тағы басқа  әдістері арқылы шешу мүмкін. Крамер әдісіне тоқталып нәтижені (регрессия коэффициенттері) қарастырсақ: 

      

     Мұнда, жүйені анықтауыш

                  сәйкес бағанды бос мүшелер бағанына алмастыру арқылы алынған анықтауыштар.

     Қисықтың  симметриялылығына байланысты екінші дәрежелі көпмүше нақты зерттеулерде әрқашан да жарамды емес. Көбінесе, зерттеуші толық параболалық формамен емес, жеке сегменттермен айналысады. Мысал ретінде 1-кестені қарастырсақ:

     1-мысал.  Бізді қызықтыратын х айнымалысы мен у айнымалысы арасында регрессиялық тәуелділікті тұрғызу болсын. Мұнда х – себілген минералды тыңайтқыштардың саны (1 га/ц), ал у – бір гектардан алынған егіннің көлемі.

     1-кесте:

       

Кестенің  мәліметтері бойынша нормальді  теңдеулер жүйесінің түрі келесідей  болады:

     Крамер  әдісімен шеше отырып, аламыз. Осыдан ал екінші дәрежелі көпмүшенің теңдеуі келесі түрде болады: . 
 

     Сызықтық  емес функциялардың санатында эконометрикада жақсы белгілі тең жақты гиперболаны  айтуға болады.

     Ол  тек қана микродеңгейде емес, мародеңгейде де қолданылануы мүмкін. Ағылшын экономисті А.В. Филлипс ХХ ғ. 50 жылдарының соңында 100 жылдық мерзімді талдай отырып, жалақы өсімінің пайызының жұмыссыздық деңгейіне кері тәуелділігін анықтаған:

     Тең жақты гипербола үшін алмастыру көмегімен сызықтық регрессия теңдеуін аламыз да, оны талдау үшін ЕККӘ қолданып келесі нормальді теңдеулер жүйесін аламыз:

       

      кезінде кері кезінде төменгі асимптотамен сипатталатын тәуелділікті аламыз. Осылайша, Филлипс қисығы үшін параметр көлемі жұмыссыздық деңгейінің өсуімен жалақы өсімінің қарқыны 0-ге ұмтылатынын білдіреді.  

      кезінде баяу жоғарылайтын функцияны, кезіндегі а жоғары асимтотасымен бірге, аламыз. Мұнда ұзақ мерзімді пайдалану тауарларына шығындар үлесі мен шығындар (табыстар) жалпы сомалары арасындағы өзара байланыс мысал ретінде бола алады. 1857 ж. неміс статистигі Э. Энгель отбасы шығындарын зерттеу негізінде заңдылықты тапқан. Оның мәні мынада: табыстың өсуімен (х) азық-түлікке жұмсалатын табыс үлесі азаяды. Сәйкесінше, азық-түліктік емес тауарларға шығындар үлесі (у) -ке дейін артады.

     1963 ж. Уоркинг және 1966 ж. С. Лизер  Энгель қисығын түсіндіру үшін  жартылогарифмдік қисықты  қолданған. алмастыруы көмегімен сызықтық теңдеуін аламыз. Оны бағалау үшін ЕККӘ қолданып келесі нормальді теңдеулер жүейсін аламыз:

     Түсіндіру айнымалылары бойынша басқа да модельдер  болуы мүмкін. Мысалы, Сәйкесінше нормальді теңдеулер жүейсі келесі түрде болады:  

     Осындай квадраттық түбірлері бар регрессиялық теңдеулер егін шығуының, ауыл шаруашылығының еңбек өнімділігінің зерттеулерінде қолданылған. 

Параметрлер бойынша сызықтық емес модельдер 

     Ал  енді бағаланатын параметрлер бойынша  сызықтық емес модельдерді қарастырайық. Бұл модельдер 2 типке жіктеледі:

1. іштей сызықты сызықтық емес модельдер
2. іштей сызықты емес сызықтық емес модельдер

 

     Егер  сызықтық емес модель іштей сызықты  болса, онда ол түрлендірулер арқылы сызықты түрге келуі мүмкін. Ал егер сызықтық емес модель іштей сызықты  емес болса, онда ол сызықтық функцияға  келтірілуі мүмікн емес. Мысалы эконометрикалық зерттеулерде сұраныстың бағаға иекмділігін зерттеу үшін дәрежелі фнукция кеңінен қолданылады:

 

Мұнда, сұралатын мөлшер;

              баға;

              кездейсоқ қате.

     Бұл модельді іштей сызықты деп есептеуге  болады. Себебі е негізі бойынша осы теңдеуді логарифмдеу оны сызықтық түрге әкеледі:

                  

Ал  оған ЕККӘ қолдануға болады.  

     Келесі  модель іштей сызықты емес, себебі оны сызықтық түрге келтіру мүмкін емес. моделі де іштей сызықты емес. Іштей сызықты емес модельдердің параметрлерін бағалау үшін итерациялық процедураларды қолданады.  

MS EXCEl көмегімен сызықтық  емес регрессияны  тұрғызу 

     MS EXCEl-де  сызықтық емес регрессияны  тез тұрғызуға болады.  

1-мысал.  

     1-қадам.  Ең алдымен Ү және Х арасындағы  тәуелділік диаграммасын тұрғызайық: 

 

     2-қадам.  Диаграмманың белгіленген нүктелерінің  біреуіне тышқан нүктесін барлық  нүктелер сары түске боялатындай  етіп орнатайық. Сұхбат терезесі  ашылады. «Добавить линию тренда»  деген жолын таңдаймыз.   

      3-қадам.  Пайда болған сұхбат терезесінде Ү және Х арасындағы тәуелділіктің түрін таңдаймыз. Мысалы, логарифмдік.