Аффинная система координат на плоскости

  

        Рис.7 

 

прямую d" (рис. ), параллельную прямой d', и обозначим через В" и М" проекции точек В и М на прямую d" (вдоль плоскости 6). Плоскость я, определяемая прямыми d и d", пересекает плоскость д_м, проходящую через точку М параллельно плоскости б, по прямой, проходящей через точки М и М". Прямые ММ" и ВВ", лежащие в плоскости я, параллельны между собою, так что по известной теореме элементарной геометрии

  

  при этом ,если точка М лежит внутри или  вне отрезка АВ, то и точка М  будет лежать соответственно внутри или вне отрезка  АВ, так что  в равенстве (1)  можно отрезки  считать направленными , то есть написать пропорцию 

  

        Рис.8

  Если  обозначить   через А_х В_х, М_х проекции   точек А, В, М на ось абсцисс, то из этой леммы сразу следует, что

  АМ : МВ=а;D = А_xМ_x : М_xВ_x =(А_xМ_x) : (М_xВ_x).

  Но (на оси О_х ) имеем (А_xМ_x)=x - x₁, (М_xВ_x)=x₂ – x₁ , так что

  (x - x₁):( x₂ – x₁)=α:β,

   откуда 
 

  и аналогично

  

  что дает во всех случаях определенную точку  М=(х, у) прямой, за исключением случая α+β=0, т. е. α:β=-1 (когда получаем единственную несобственную, или «бесконечно удалённую», точку нашей прямой).

  При а = в точка  М будет   серединой  отрезка АВ, и для координат  середины отрезка мы получаем следующие формулы:

  

  Если  α+β=0 и β=0, то , пологая   α/ β = λ , можем переписать полученные

  формулы в виде

  

  4.Перенос  начала координат

В аналитической  геометрии основное значение имеет  так называемая задача преобразования координат. Она заключается в следующем. Даны две систем координат (на плоскости или в пространстве) –«старая» и «новая». Требуется, зная координаты какой- ни будь точки или вектора в одной системе координат, найти координаты той же точки или вектора в другой системе.

Предположим, что  даны две координатные системы, у  которых одни и те же единичные  векторы е₁,е₂,е₃   но разные начала О и О’ , так что новая система координат О’е₁e₂e₃  получается из старой Ое₁е₂е₃ сдвигом на вектор ОО’. (рис.9) При этом  даны координаты  О’=(a,b,c). Мы уже знаем, что в этом случае координаты каждого вектора u в обеих системах одинаковы, потому что этими векторами являются координаты вектора u относительно одного и того же базиса е₁ е₂ е3 т.е. коэффициенты х,у,z,  в представлении

U=xe₁+ye₂+ze₃    

Посмотрим как  связаны между собой координаты x,y,z, и x’, y’,z’, произвольной точки М в обеих системах. Числа x,y,z, суть координаты вектора ОМ (рис.10.) а числа x’,y’,z’- координаты вектора О’М (относительно того же базиса е₁ е₂ е₃) но

ОМ=ОО’+О’М    (1) 
 

 

                           Рис.9.

Причем для  векторов ОМ, ОО’, О’М  имеем

ОМ={x,y,z}  ОО’={a,b,c}  О’М={x’, y’, z’} так что векторное равенство(1) равносильно совокупности трех числовых равенств:

Х=a+x’

y=b+y’ (2)

z=c=z’

эти формулы  и решаю поставленную задачу.

В случае плоскости  вместо трех равенств (2) получаем: если координаты нового начала О’ относительно старой системы координат  суть a,b, так что О’=(a,b) в старой системе, то координаты x, y произвольной точки М в старой системе выражаются через координаты той же точки в новой системе формулами

                               

Х=a+x’ (3)

Y=b+y’ 

5.Переход от одной аффинной системы координат к другой. 6. Матрица перехода

  А)Переход  от одной аффинной системы координат  к другой с тем же началом.

  Как мы знаем, аффинная координатная система, или,  как мы будем кратко говорить,   аффинный   репер, в плоскости   есть   двойка   некомпланарных векторов е₁, е₂ данных в определенном порядке и приложенных  к точке О— началу репера.

  Двойка векторов, е₁, е₂, называется иногда базисом репера (или координатной системы); название основано на том, что эти векторы образуют базис многообразия всех (свободных) векторов двумерной плоскости .

  Если  наряду с репером Ое₁е₂  который будем условно называть «старым» дан «новый» репер с началом О' и базисом е₁', е₂' то возникает общая задача преобразования координат: по координатам произвольной точки М (произвольного вектора u) в одной из двух систем координат найти координаты той же точки (того же вектора) в другой системе. Простейший случай этой задачи — когда оба репера имеют один и тот же базис е_1; е₂ и отличаются между собою только началом. Предположим теперь, что оба репера имеют одно и то же начало О. Тогда новый репер вполне определен, если заданы векторы е₁', е₂' своими координатами (относительно старого базиса), т. е. если даны коэффициенты а_ik (i,k=1, 2, 3) в равенствах

   e'=a₁₁e₁+a₂₁e₂,

  e'=a₁₂e₁+a₂₂e₂,                     (1) 

  Матрица

  А*=

   называется матрицей перехода от базиса e_l, е₂ к базису е₁', е₂', а также матрицей перехода от первого репера ко второму. Так как векторы е₁', е₂' линейно независимы, то детерминант матрицы А* отличен от нуля — матрица перехода от одного базиса к другому есть всегда невырождающаяся матрица. Так как векторы е₁, е₂ образуют базис, то каждый из векторов е₁, е₂ в свою очередь однозначно представим как линейная комбинация векторов е₁', е₂':

  e₁ = a'₁₁e'₁ + a _'21е '₂,

  е₂ = а'₁₂е '₁ + а'₂₂е '₂,                      (1') 

  —уравнения (1) однозначно   разрешимы   относительно   старых   единичных векторов е₁, е₂.

  Посмотрим, как   связаны   между    собою   координаты  х, у и х', у' произвольной точки М (произвольного вектора u = ОМ) в старой и новой координатных системах.

  Вектор  u=ОМ записывается, во-первых, как линейная комбинация векторов е₁, е₂ с коэффициентами х, у и, во-вторых, как линейная комбинация векторов е₁', е₂' с коэффициентами х', у', так что имеем тождество

  u = xe₁ + уe₂  = х'е'₁ + у'е'₂ .

  Вносим  в это тождество выражения  e'₁, e'₂ из (1); получаем

  u = xe₁ + уe₂ = х'(а₁₁е₁ + а₁₂е₂) + у' (a₁₂e₁ + а₂₂е₂) 

  или, группируя по-новому  члены,

  u =  xe₁ + уе₂ = (а₁₁x' + а₁₂у' ) e₁ + (а₂₁х' + a₂₂y' ) е₂ .

  Но вектор u единственным   образом   представляется   как линейная комбинация  векторов   e_l, e₂,   следовательно,   коэффициенты   при векторах e_l, e₂ в   левой и правой  частях последнего  равенства должны быть одни и те же, т. е.

   x = a₁₁x' + a₁₂y' + a₁₃z',

  у = а₂₁х' + а₂₂у' + a₂₃z',  (2) 

  Эти   формулы   и   выражают   старые   координаты   х,   у   точки М (вектора u) через новые.

  Матрица  А=

  дающая  это выражение, называется матрицей преобразования координат; она является транспонированной по отношению  к матрице А* перехода от базиса е₁, е₂ к базису е'₁ е'₂. Обе матрицы имеют один и тот же отличный от нуля детерминант. Следовательно, уравнения (2) однозначно решаются относительно х', y' по правилу Крамера: 

   , .

  Разлагая  в этих формулах числители по элементам  столбца х, у, получаем

   x' = a'₁₁x + a'₁₂y ,

  y' = a'₂₁x + a'₂₂y ,                                        (2')

  где

  а'_ik=                                               (3)

  и A_ki, есть адъюнкта элемента а_ki в матрице А.

  Определение.   Пусть матрица А — не вырождающаяся матрица. Матрица

  

  где а'_ki определены формулами (3),  называется матрицей,  обратной к матрице

  А= ,

  обозначается  через А^-1. Другими словами:   если матрица А выражает координаты   х,  у (т.е.   координаты   относительно базиса е₁, е₂) через координаты х', у' (относительно базиса е₁', е₂'), то обратная матрица определяется как матрица, выражающая координаты  х', у',   через   координаты х, у,  причем безразлично, понимаем ли  мы под  координатами   координаты точки или вектора

       Б)Переход от одной аффинной системы координат к другой изменением начала координат.

  Общий случай перехода от репера Ое₁е₂ к реперу О'е₁'е₂' сводится к комбинации двух случаев: переноса начала  и перехода от одного базиса к другому. В самом деле, рассмотрим наряду с двумя реперами Ое₁е₂ и О'е₁'е₂' еще третий, «промежуточный», имеющий   начало   О'=(х₀, у₀)   и   базис   е₁, е₂;   координаты точки относительно   этого   промежуточного   репера обозначим через х'', у". Тогда х=х_о + х", у=у_о + у", где х", у" выражаются  через х', у' по  формулам  (2)  (в которых,  естественно, надо х, у (слева) соответственно заменить на х", у"). Получаем окончательно:

   х = х_о + а₁₁х' + а₁₂у',

  у = у_о + а₂₁х' + а₂₂у'.                                (4) 

  Это и  есть общие формулы преобразования координат для двух произвольных аффинных координатных систем. 

                               
 
 
 
 

                 Список использованной литературы:

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии / П.С. Александров. – М.: Наука. 1968.
2. Атанасян Л.С. Геометрия / Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение 1973. Ч.1
3. Атанасян Л.С. Геометрия / Л.С. Атанасян, В.Г. Базылев. – М.: Просвещение, 1987. Ч.2
4. Базылев В.Т. Геометрия / В.Т.Базылев, К.И. Дуничев, В.П.Иваницкая. – М.: 1974 Ч.1
5. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы / Н.В.Ефимов. – М.: Наука, 1967
6. Паранасский И.В. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики / И.В.Парнасский, О.Е.Парнасская. – М.:Просвещение 1978.
7. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия / А.В.Погорелов. – М.: Наука, 1968