Алгоритмы и системы счислений

Министерство  образования и науки Украины

Донбасский  государственный технический университет

Кафедра СКС 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

по дисциплине: «Алгоритмы и системы счислений» 
 
 
 
 
 
 

Выполнила:

студентка группы CКC-08-1

Новикова  В.В. 
 
 

Принял:

преподаватель

Павленко  Т.В. 
 
 

Алчевск 2009

 

Вариант №2 

Задание курсовой работы состоит в решении системы  дифференциальных уравнений методом:

• Приведение к дифференциальному уравнению n-ого порядка;
• Нахождение собственных чисел матрицы системы;
• Вариации производных постоянных;
• Преобразование Лапласа;
• Методом Эйлера-Коши;
• Методом Рунге-Кутта третьего порядка точности;
• Методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности;

 

Система имеет  вид:

 

 

1. Решение системы дифференциальных уравнений методом приведения к дифференциальному  уравнению второй степени: 

 

Из первого  уравнения выражаем у:

Первое уравнение  дифференцируем по t

Подставим второе уравнение

Заменяем функцию y

Характеристическое  уравнение и его корни:

 

Получим однородное решение для х:

 

Находим решение  уравнения с учетом специальной  правой части:

 

Получаем общее  решение

 

Решаем уравнения

 

 

Подставим в  эту систему начальные условия: 

 

 

Получим искомое  решение:

 
 

 

2. Нахождение  собственных чисел матрицы системы: 

A=    

 

=0 

 

При  

 

 

 

 

При  

 

 

 

3. Метод вариации  произвольных постоянных 

Из первого  метода возьмем систему

 

По методу Крамера  решим систему уравнений: 

 

 

 

 

Подставим в  уравнения начальные условия и получим:

 

4. Преобразование  Лапласа 

 

L[x(t)]=X(p)

L[y(t)]=Y(p)

L[x’(t)]=pX(p)-x(0)=pX(p)-0

L[y’(t)]=pY(p)-y(0)=pY(p)-0 

 

 

 

5. Метод Эйлера – Коши 

 

 

 

 
 

6. Метод Рунге  – Кутта третьего порядка точности

 

 

 

 
 

Вывод коэффициентов  для метода Рунге-Кутта третьего порядка точности 

 

Задаем ряд  Тейлора для  , который должен совпадать с точным решением у дифференциального уравнения 

 
 

Согласно формуле  Тейлора выполняется равенство: 
 

            

   где 0<Q<1

 

Получим: 

где ,  

При , ,

После подстановки  получим:

 

Учитывая разложения в ряд Тейлора

Сравнивая соответствующие  коэффициенты, получим

 

В результате получим: 

 
 

7. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности