Дії над тензорами

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Миколаївського національного університету

імені В. О. Сухомлинського

Кафедра математики і механіки

Дії над тензорами

Курсова робота з математики

студентки ІІІ курсу

спеціальності «Математика та основи економіки»

Клисько А. В.

Науковий керівник: доцент кафедри математики і механіки к. ф.-м. н. Дармосюк  В. М.

Миколаїв 2011

Вступ

Сучасний етап науково-технічного прогресу характеризується стрімким розвитком прикладних і технічних знань і посиленою увагою до фундаментальних наук. Прикладом такої науки може служити тензорне числення, яке в останній час стало звичним математичним апаратом не тільки у фізиці, механіці, геометрії, але і в ряді чисто прикладних дисциплін.

Тензорний аналіз є математичним апаратом, що дозволяє представити в найбільш загальній і компактній аналітичній формі основні операції над багатокомпонентними величинами, які застосовуються при дослідженні різних проблем геометрії й фізики.

Тензорне числення є важливою складовою частиною апарату диференціальної геометрії. В зв'язку з цим воно вперше систематично було розвинуто італійськими математиками Г. Річі-Курбастро і Т. Леві-Чівітою.

Термін «тензор» ще з середини XIX століття вживається в механіці при описі пружних деформацій тіл, а з початку XX століття апарат тензорного числення систематично використовується в релятивістській фізиці.

Найпростішими тензорними величинами є скаляри, вектори, а також величини, що характеризують деформації, напруги, швидкості деформацій, пружні константи матеріалів і інші. Усіх їх об’єднує не фізична природа, а сукупність певних математичних операцій (додавання, множення, згортання, симетрія), які складають основу тензорного числення, головною характеристикою якого є інваріантність математичних записів по відношенню до перетворення системи координат, у якій розглядається об’єкт.

Основна мета цієї роботи - це засвоєння основних понять й методів тензорного аналізу в найбільш простій для сприймання формі, та оволодіння методом поступового узагальнення від окремих випадків до загальних понять.

Поняття тензора і закон перетворення його компонент

1.1. Компоненти тензорів і їх перетворення. Рівноправність координатних систем

У попередньому розділі були розглянуті приклади скалярів і векторів. Скаляр має одну компоненту, вектор - три компоненти. Іншими словами, яку б ми не вибрали систему координат, для повного опису скаляра досить одного числа, а для такої величини, як вектор, необхідно три числа. Більш складні об'єкти вимагають для свого визначення більшого числа компонент. Так, для опису деформації пружного тіла в точці необхідно = 27 чисел, а пружні властивості анізотропного тіла вимагають для повної характеристики = 81 число.

Числа (або функції), які повністю визначають величину в якійсь системі координат, називаються компонентами цієї величини.

З цієї точки зору зручно розглядати такі величини, як тензори різних рангів: скаляр (= 1 компонента) - тензор рангу 0, вектор ( = 3 компоненти) - тензор рангу 1, величина, що має = 9 компонент - тензор ранга 2 і т. д. Тензори можуть бути самого різного рангу, і, взагалі, тензор рангу n має компонент.

Компоненти можуть бути функціями, наприклад, часу і координат.

Розглянемо правила, за якими перетворюються компоненти тензорів різних рангів в залежності від зміни системи координат.

Величини можна розглядати в системах координат з будь-яким початком і різним чином орієнтованих. Компоненти однієї і тієї ж величини (тензора) можуть мати різні значення в різних системах координат. Однак, у зв'язку з тим, що кожного разу ці компоненти визначають одну і ту ж величину, закон перетворення компонент при переході з однієї системи координат в іншу не може бути довільним. Цей закон повинен випливати як з природи розглядуваної величини (для скаляра один закон, для вектора - другий і т. д.), так і з властивостей простору, в якому вибирають системи координат.

Довільність вибору початку (перенесення) координатних систем є досвідченим фактом і відображає так звану однорідність простору.

Рівноправність будь-якої орієнтації (поворот) координатних систем також є досвідченим фактом і означає ізотропність простору.

Таким чином, в однорідному та ізотропному просторі всі координатні системи рівноправні в тому сенсі, що описання величин або явищ (закони) не залежить від довільного вибору системи координат.

Це означає наступне. Нехай в однорідному й ізотропному просторі обрані дві довільні системи координат К, і К ', які можуть мати різні початки і різну орієнтацію. Тоді закон, сформульований у системі К через компоненти величин, пов'язані з цією системою, повинен мати той же вигляд, що і той самий закон, сформульований у системі К ' через компоненти, що відносяться до системи К'.

Це вимога до правильно сформульованих законів носить назву вимоги інваріантності.

Так, наприклад, якщо довжина якогось відрізка, обчислена в системі координат К, дорівнює, то, обчислюючи довжину цього ж відрізка через координати його кінця і початку по відношенню до будь-якої іншої системи К ', ми отримаємо те ж саме чисельне значення його довжини. Математично цей факт може бути виражений тим, що величина

                                                                                                  (1.11)

має однакове чисельне значення незалежно від того, в якій із прямокутних декартових систем обчислені - різниці координат кінця і початку відрізка.

Незалежність опису від вибору системи координат не є єдиною вимогою, що пред’являється  до величин і законів. В якості іншої такої загальної вимоги вкажемо на широко відому умова незалежності формулювання законів від вибору системи одиниць вимірювання.

Фізичні величини мають розмірність. Однак вибір одиниць виміру цих величин залишається довільним. Таким чином, відношення двох значень однієї і тієї ж величини не залежить від того, в яких одиницях ця величина виміряна (цей факт використовується в теорії розмірності при виведенні основної формули розмірності).

Будь-який закон формулюється також незалежно від вибору системи одиниць вимірювання для величин, між якими він встановлює відповідність.

Як відомо, незалежність формулювання закону від вибору системи одиниць вимірювання забезпечується однаковою розмірністю величин, які входять у формулювання у вигляді доданків. Незалежність формулювання закону від вибору системи координат забезпечується однаковим рангом всіх тензорів, які входять до запису закону у вигляді доданків.

Розглянемо послідовно тензори різних рангів у зв'язку з законом перетворення їх компонент, що забезпечує у всіх випадках рівноправність координатних систем при описі величин.

Основні визначення та формулювання будуть викладені по відношенні до прямокутних декартових систем координат. Тим не менш, де це буде потрібно по ходу викладу, будуть розглядатися також компоненти тензорів і їх властивості в системах узагальнених координат[2.62].

У тензорному числені існує три домовленості

1. Домовленість про додавання. Додавання від 1 до проводиться по кожному німому індексу, який зустрічається двічі, один раз внизу і один раз вгорі.

Позначення будь-якого німого індексу може бути змінено, оскільки німі індекси «взаємно знищуються» при додаванні. (Приклад: При перемножуванні сум слід використовувати різні індекси додавання.

              2. Домовленість про ранг. Усі вільні індекси, що зустрічаються тільки внизу або тільки вгорі, приймають значення від 1 до , так що рівняння з R вільними індексами є скороченим  записом    рівнянь.

Як верхні, так і нижні індекси з різних частин рівняння повинні збігатися.

              3. У похідних виду індекс k вважається нижнім.

1.2. Тензори нульового рангу (скаляри)

Такі величини, як температура, об’єм, тиск і інші, називаються скалярами. Наведемо означення скаляра у зв'язку з законом його зміни при перетвореннях координатної системи.

Скаляр - це величина, яка повністю визначається в будь-якій координатній системі одним числом (або функцією), яке не змінюється при зміні просторової системи координат.

Скаляр має одну компоненту.

Таким чином, якщо - значення скаляра в одній системі координат, а - в інший, то

                                                                      .

Розглянемо приклад скалярної величини.

Приклад. Нехай А і В - дві точки в просторі, координати яких в системі (К) декартових координат суть , а в другій декартовій системі (K ') - (рис. 2.1). Так як довжина відрізка прямої за своїм означенням є скаляром, то .

Отже, для будь-яких двох систем декартових координат необхідно виконання рівності

Тут

Як відомо з аналітичної геометрії , формули перетворення декартових координат мають вид (застосовуючи скорочені позначення):

або

                                                                                                                                                 (1.13)

(i= 1, 2, 3).

Звідси

                                                                                                                                                    (1.14)

Тут - косинус кута між і-ю новою віссю і k-ю старою віссю. Всі коефіцієнти цього ортогонального лінійного перетворення не залежать від координат, а між ними існують співвідношення;

(1.15)

Ортогональні лінійні перетворення забезпечують виконання умови (1.12).

Дійсно, обчислимо використовуючи (1.14):

В силу співвідношень (1.15) маємо:

Таким чином, закон перетворення координат (1.13) забезпечує інваріантність довжини відрізка прямої по відношенню до будь-яких ортогональних змін координатної системи.

Тензори 1-го рангу (вектори)

Векторні величини (переміщення, прискорення, сила та інші), як вже вказувалося, вимагають для свого визначення трьох дійсних чисел чи функцій. Вектори - величини більш високого рангу в порівнянні зі скалярами; вони можуть бути названі тензорами 1-го рангу.

Слід підкреслити, що вектор - це не набір трьох скалярних величин. Двома числами (густина і температура) можна повністю охарактеризувати стан ідеального газу точно так, як двома числами (різницю абсцис і ординат двох точок) можна описати переміщення в площині. Але при зміні системи просторових координат густина і температура не міняються, бо вони є скалярами, і тому не можуть утворювати вектор, у той час як різниці координат змінюються при цьому за певним законом.

Три числа або функції, що визначають вектор, міняються при зміні просторової системи координат, але за таким законом, що в будь-який з координатних систем вони визначають один і той же вектор.

Закон перетворення компонент вектора. Закон перетворення компонент вектора встановлюється на підставі перетворення трьох чисел (див. 1.12). Якщо - різниця декартових прямокутних координат будь-яких двох точок в системі (К), то різниця координат цих точок в іншій декартовій системі (К') визначаються згідно з формулою (1.14):

де ( - косинус кута між і'-ю віссю системи (К') і k-ю віссю системи (К).

Якщо в просторі задано вектор А, то його компоненти визначаться, якщо обрана якась система (К) декартових координат.

В іншій системі координат (К ') (рис. 1.12) його компоненти, природно, будуть іншими (, хоча сам вектор А залишається незмінним у тому сенсі, що визначають той же самий вектор (наприклад, швидкість точки М).

Оскільки кожному вектору можна співставити певний відрізок у просторі, то компонентам вектора будуть відповідати різниці прямокутних декартових координат початку і кінця цього відрізка. Тому, щоб поняття вектора як деякої величини не залежало від вибору системи координат, необхідно, щоб його компоненти змінювалися так само, як згадані різниці координат.

Тоді відповідно до закону (1.14) маємо для компонент вектора в прямокутних декартових координатах

Цей закон і лежить в основі аналітичного визначення вектора.

Вектор - це величина, що визначається в будь-якій системі координат трьома числами (або функціями) , які при зміні просторової системи координат перетворюються в , - за законом

                                                                                                                                                          (1.16)

Три величини , - є компонентами вектора.

Зворотно, якщо при зміні просторової системи координат три числа змінюються за законом (1.16), то ці числа визначають вектор.

Якщо компоненти вектора задані в одній системі декартових координат (К), то, використовуючи закон (1.16) перетворення компонент вектора, можна визначити компоненти в будь-якій іншій системі, осі якої складають з осями першої системи кути з косинусами .

Якщо три компоненти вектора перетворюються в нуль в будь-якій системі координат (вектор дорівнює нулю), то вони дорівнюють нулю і в будь-який інший системі, внаслідок однорідності закону перетворення (1.16).

Відзначимо, що це визначення вектора  дозволяє природним чином перейти до поняття величини більш високого рангу - тензорів 2-го і вищих рангів і з єдиної точки зору зупинитися на тензорних властивостях фізичних величин.

Приклад. Нехай в системі (К) координати точки змінюються з плином часу t, так що

.

Тоді за час точка просунеться по осях системи (K) на відстань

.

Ці три величини визначають вектор (вектор переміщення точки), бо, враховуючи закон перетворення (2.3), в іншій системі (K’), отримаємо

.

Розглянемо відношення

                                                                                                                                              (*)

Три таких відношення (i = l, 2, 3) становлять вектор. Дійсно в системі (К ') маємо:

Оскільки і , то

що і доводить векторний характер відношень (*). Вектор (*) називається середньою швидкістю точки за проміжок часу в системі (К).

Сукупність трьох границь(якщо вони існують)

                                                                                                   (**)

також визначає вектор.

Дійсно, оскільки не залежать від , то, преходячи до границі при , отримаємо

З цього закону перетворення границь слідує, що вони визначають вектор.  Вектор (**) називається істинною швидкістю точки в момент часу t в системі (К).

Аналогічно, визначаючи істинне прискорення точки в момент часу t в системі (К) як сукупність трьох границь:

                                                                        ,

можна встановити ,що вони також визначають вектор.

Тоді, приймаючи, що в усіх координатних системах виконується другий закон Ньютона

отримаємо, що сила являється векторною величиною[2.74].

Тензори 2-го рангу

Перш ніж дати визначення тензора 2-го рангу, зупинимося на двох прикладах утворення цих величин.

Нехай дано два лінійно залежних вектора А і В. Тоді їх компоненти пропорційні: тобто ці вектори колінеарні.

У самому загальному випадку лінійна залежність між компонентами двох векторів, один з яких (наприклад, В) довільний, в деякій системі (К) може бути виражена за допомогою дев'яти коефіцієнтів ( будемо їх позначати через ) формулами:

або скорочено

                                                                                                                                                              (*)

У іншій системі (К ') будуть інші компоненти у векторів і інші числа , так що в системі (К') маємо:                           

                                                                    (**)

Розглянемо зв'язок між числами і .

Помножимо кожне з рівнянь (*) на , і просумуємо по і. Отримаємо         ,

Тоді зліва, відповідно до (1.6), отримаємо i-у компоненту вектора А в системі (К'). Таким чином,

Оскільки (див. 1.3)   то , або, що одне і те ж:

Порівнюючи цей вираз з (**), отримаємо в силу довільності вектора В отримаємо

Нагадаємо, що справа стоїть подвійна сума по l і m від 1 до 3.

Такий закон перетворення дев'яти чисел при зміні просторової системи координат. Їх сукупність, визначена в будь-якій системі координат, завжди визначена і в будь-якій іншій системі.

Інший приклад.

З компонент двох незалежних векторів А і В можна скласти дев'ять добутків виду

При переході до іншої системи координат (K') ці добутки будуть мати інші значення. Виразимо їх через старі значення. Це завжди можна зробити, бо ми знаємо закон перетворення компонент векторів А і В. Використовуючи (1.6), отримаємо

Таким чином, величини перетворюються при зміні системи координат за тим же законом, що і числа з попереднього прикладу.

Величини , представляють приклади тензорів 2-го рангу.

Тензор 2-го рангу - це величина, яка визначається в будь-якій системі координат дев'ятьма числами (або функціями) , які при зміні системи координат перетворюються в за законом

                                                                                                                              (1.17)

Величини є компонентами тензора 2-го рангу.

Якщо компоненти () тензора задані в одній декартовій прямокутній системі координат, то за формулою (1.17) можна визначити компоненти ( тензора в будь-який інший декартовій прямокутній системі, осі якої складають з осями початкової системи кути з косинусами

Якщо всі компоненти тензора перетворюються в нуль в будь-якій системі координат, то вони дорівнюють нулю в будь-який інший системі внаслідок однорідності закону перетворення (1.17).

Іноді зручно записувати тензор у вигляді таблиці (матриці):

                                                                                                                (1.18)

Розглянемо кілька прикладів, з яких видно, як деякі геометричні та фізичні об'єкти вимагають для свого опису тензорів 2-го рангу.

Приклад . Нехай - компоненти вектора, спрямованого з центру поверхні 2-го порядку, що знаходиться на початку системи декартових координат, до точок цієї поверхні. Тоді рівняння поверхні має вигляд Числа повністю визначають цю поверхню, причому

Якщо (К ') - система, повернена відносно (К) на кути з косинусами , то

Рівняння поверхні в системі (К ') має вигляд 

Із закону перетворення величин знаходимо

Порівнюючи цю формулу з попередньою, отримаємо закон перетворення дев’яти величин  : з якого робимо висновок, що величини утворюють тензор 2-го рангу.

Тензори вищих рангів

Випишемо закони перетворення компонент тензорів нульового, 1-го і 2-го рангів:

Формула перетворення скалярів не містить коефіцієнтів ; у формулу перетворення компонент вектора коефіцієнти входять лінійно (однорідна функція першого степеня відносно ); формула перетворення компонент тензора 2-го рангу є вже однорідною функцією другого ступеня відносно .

Як узагальнення, можна дати визначення тензора n-го рангу.

Тензор n-го рангу - це величина, яка визначається в кожній системі декартових координат сукупністю чисел (або функцій) ... (п-число індексів), які при зміні системи координат перетворюються за законом

                                                        (1.19)

Сума праворуч є однорідним многочленом (формою) степеня n щодо косинусів кутів *. ...- компонента тензора. Якщо вони всі рівні нулю в якійсь системі координат, то тензор тотожно дорівнює нулю.

1.3. Тензори в системах узагальнених координат

Коваріантні, контраваріанті і змішані компоненти тензорів. У системі узагальнених координат, яка визначається довільним неортогональним базисом, вектор (тензор 1-го рангу) повністю визначається або його трьома коваріантними компонентами або трьома контраваріантними компонентами . Величини відрізняються від законом перетворення при зміні просторової системи координат :

Тим не менше, ці величини не є незалежними; зв'язок між ними встановлюється формулами :

При цьому коефіцієнти () визначають базис системи узагальнених координат, в яких розглядаються компоненти вектора .

Аналогічно, відносячи тензори 2-го і вище рангів до загальних систем координат, можна розглядати різного роду їх компоненти. Ці компоненти відрізняються один від одного законом перетворення при зміні просторової системи координат. Існують також формули, що зв'язують різного роду компоненти між собою.

Наведемо визначення тензора 2-го рангу, яке не обмежене застосуванням тільки декартової системи прямокутних координат.

Тензор 2-го рангу - це величина, повністю визначена ​​в будь-якій системі координат = 9 числами (або функціями), які називаються компонентами. Компоненти тензора можуть бути коваріантними , контраваріантними , зміщаними . При зміні просторової системи координат ці компоненти перетворюються в по закону:

Тут ,  -коефіцієнти прямого і зворотного перетворення .

Компоненти тензора, що розглядаються в системі координат з метрикою , пов'язані між собою формулами

Крапка в позначеннях змішаних компонент підкреслює порядок послідовності індексів. Так в перший індекс «коваріантний», а другий - «контраваріантний»; в порядок послідовності індексів зворотний.

Приклад. Покажемо, що величини ,, є компонентами тензора 2 - го рангу. Цей тензор називається метричним .

Запишемо закони перетворення цих величин при зміні просторової системи координат. Маємо

Отже, - коваріантні компоненти деякого тензора, - контраваріантні, – змішані .

Покажемо, що це компоненти одного і того ж тензора. Для цього достатньо показати, що вони пов'язані між собою формулами виду (1.21).

Але з визначення і властивостей векторів основного і взаємного базису слідує

Тоді   і т. д.

Таким чином, величини ,, дійсно є компонентами одного тензора (метричного тензора). Його змішані компоненти збігаються за значенням з символом Кронекера .

Поняття тензора 2-го рангу може бути узагальнене на поняття тензора n-го рангу, віднесеного до довільної системи координат. Тензор n-го рангу – це величина, що визначається числами, які можуть бути або його коваріантними, або контраваріантними, або різного роду змішаними компонентами.

«Фізичні» компоненти тензорів. Випадок ортогональних базисів. Поняття «фізичних» компонентів векторів природньо узагальнюється і на «фізичні» компоненти тензорів 2-го і вищих рангів. У загальному випадку це випливає з того, що компоненти будь-якого тензора n - го рангу можуть бути представлені у вигляді суми добутків компонент трьох ( в тривимірному просторі ) векторів . Якщо вважати факт розкладання тензорів на суму добутків компонент векторів встановленим, то, зокрема, «фізичні» компоненти  і   тензора 2 - го рангу визначаються виразами

У разі ортогональних базисів отримаємо

З цього  слідує,  що обидва види фізичних компонент тензорів збігаються

і дорівнюють 

Операція підняття і опускання індексів. В алгебрі тензорів говорять про операції підняття і опускання індексів у компонент тензорів. Під цим розуміють правило отримання одних компонент через інші за допомогою оператора - метричного тензора. Правило полягає в тому, що «піднімаючий» («опускаючий») індекс переходить в метричний тензор, а на те місце, куди він повинен бути піднятий (опущений) ставиться «німий» індекс підсумовування; другим «німим» індексом підсумовування є вільний індекс метричного тензора. Наприклад,

Іноді про тотожні перетворення виду говорять як про операцію «перейменування» індексу.

Коваріантні, контраваріантні і змішані тензори. Іноді при початковому визначенні тензора як фізичної або геометричної величини зручно виходити з якихось визначених його компонент, наприклад коваріантних. У цьому сенсі можна говорити про такий тензор, як про коваріантний. Аналогічно розглядають контраваріантні і змішані тензори. Однак з будь-яких компонент ми не виходили, тензор п-го рангу, як єдина величина, завжди визначається тільки незалежними числами. З іншого боку, якщо визначені які-небудь компоненти тензора, то за формулами, завжди можна знайти його компоненти будь-якої іншого будови. Це являється наслідком того факту, що в просторі з заданою метрикою всяка фізична або геометрична величина може бути представлена ​​компонентами будь-якої будови[3.52].

Тензорна алгебра

У цьому розділі ми зупинимося на основних діях над тензорами (додавання і віднімання, множення, згортання) і на деяких властивостях тензорів.

Так як тензор визначається своїми компонентами, то визначення дій над тензорами зводиться до побудови формул, які виражають в кожній системі координат компоненти результату дій через компоненти тензорів, над якими виконуються дії.

2.1. Додавання тензорів

Нехай і - компоненти двох тензорів 2 – го рангу. Складемо числа у вигляді сум відповідних компонент тензорів:

Числа утворюють тензор 2-го рангу. Дійсно, так як і - компоненти тензорів, то

і

тобто утворюють тензор 2-го рангу.

Тензор з компонентами називається сумою тензорів з компонентами і , а операція утворення його компонент – додаванням цих тензорів.

Правило додавання відноситься до будь-якого числа тензорів будь-якого рангу .

Сумою тензорів одного рангу називається тензор того ж рангу, компоненти якого рівні сумі відповідних компонент доданків.

Таким чином, додавати можна тільки тензори одного рангу.

Аналогічно сумі двох тензорів визначається різниця двох тензорів одного рангу і, відповідно, операція віднімання.

У разі віднесення тензорів до узагальнених координатах, при додаванні і відніманні тензорів одного рангу необхідно оперувати компонентами однакової будови. Таким чином, правильними будуть, наприклад, записи:

і т. д.

Внаслідок того що формули перетворення компонент тензорів при зміні координатної системи і в самому загальному випадку залишаються однорідними відносно коефіцієнтів перетворення і лінійними щодо компонент тензорів, величини , і т. д. попередніх виразів є компонентами тензорів того ж рангу і будови, що і складові.

Множення тензорів

Нехай і - компоненти двох тензорів 2-го рангу. Складемо в кожній координатній системі всілякі добутки компонентів одного тензора на компоненти іншого. Ці добутки будуть залежати від індексів, число яких дорівнює сумі рангів тензорів і . Позначимо

Числа утворюють тензор 4-го рангу. Дійсно, так як

то

Це доводить, що - утворюють тензор 4-го рангу.

Тензор з компонентами називається добутком тензорів з компонентами і , а операція утворення його компонент - множенням (іноді зовнішнім множенням або тензорним множенням) цих тензорів.

Неважко побачити, що

Таким чином, тензорне множення не комутативне.

Правило множення відноситься до будь-якого числа тензорів будь-якого рангу.

Добутком декількох тензорів називається тензор, компоненти якого рівні добутку компонент співмножників. Ранг добутку тензорів дорівнює сумі рангів співмножників.

У самому загальному випадку координатних систем добутком двох тензорів, що визначаються, наприклад, компонентами , називається тензор з компонентами, які визначаються за правилом

Використовуючи загальні закони перетворення компонент тензорів, неважко показати, що величини утворюють тензор.

Таким чином, перемножувати можна тензори будь-якого рангу і будови.

Згортання тензорів

У тензорному численні часто застосовується операція згортання тензорів. Згортанням називається підсумовування компонент тензора по двом яким-небудь індексам.

Згортання можна проводити над тензорами, ранг яких не менше двох.

Нехай утворюють тензор 3 - го рангу. Зробимо згортання його за двома індексами - i та k, тобто візьмемо тільки ті його компоненти, у яких індекси i та k рівні, і складемо з них суми:

У результаті згортання тензора за іншими індексами отримаємо суми , . Таких сум кожного виду буде три. Наприклад, для   маємо:

Доведемо, що будь-яка така група з трьох сум, наприклад , утворює тензор 1-го рангу, тобто вектор.

Так як утворюють тензор 3-го рангу, то

Звідси, згортаючи за індексами і та k, отримаємо, враховуючи формулу аналогічну (2.5):

З цієї формули перетворення випливає, що величини визначають вектор.

Сформулюємо загальне правило щодо згортання.

При згортанні за двома індексами тензора рангу n отримується тензор рангу n-2.

Операцію згортання можна застосовувати до тензора кілька разів, до тих пір, поки його ранг не стане меншим двох.

Тензор парного рангу може бути згорнутий до скаляра, а тензор непарного рангу - тільки до вектора.

Множення тензорів з подальшим згортанням по індексам, що належать до різних множників - тензорів, називається іноді скалярним або «внутрішнім» добутком тензорів.

Скалярний добуток двох векторів є добутком двох тензорів 1-го рангу з подальшим згортанням.

При згортанні тензорів, компоненти яких розглядаються в загальних системах координат, важливо пам'ятати, що згортання може проводитися тільки по парах різнойменних індексів, тобто один згортаючий індекс повинен бути «коваріантним», а інший обов'язково «контраваріантним». Це випливає з вимоги про те, що результат згортання тензора повинен залишатися тензором.

Дійсно, нехай, наприклад, ми виробили згортку тензора за індексами і та k; тоді величини будуть компонентами тензора (вектора), бо в силу (2.36) і (1.7) маємо

Згортка ж по-індексам k і l дає величини, закон перетворення яких

вказує на те, що три величини не утворюють вектора.

«Внутрішній» добуток тензорів, віднесених до довільних систем координат, можуть бути утворені тільки з компонент з різнойменними індексами. Наприклад,

2.2. Властивість симетрії тензорів

Поняття симетрії відноситься до тензора рангу не менше двох.

Тензор називається симетричним по парі індексів, наприклад і і к, якщо компоненти, що виходять при перестановці цих індексів, рівні один одному, тобто

  .

Таким чином,

                                                                         і т. д.

Тензор   називається антисиметричним по парі індексів, якщо при їх перестановці компоненти змінюють знак, тобто

   .

Таким чином,

                                  і т. д.

У антисиметричного тензора компоненти з рівними індексами, за якими має місце антисиметрія, дорівнюють нулю.

Якщо    , то, наприклад,

      тобто           

Властивість симетрії або антисиметрії не залежить від вибору системи координат.

Таким чином, тензор, симетричний (антисиметричний) в будь-якій системі координат, залишається симетричним (антисиметричним) у будь-який інший системі координат.

Доказ цього твердження випливає з закону перетворення тензора.

Дійсно, якщо тензор симетричний в системі (К), тобто , то

Аналогічно показується інваріантність властивості антисиметрії по відношенню до вибору системи координат.

Симетричний і антисиметричний тензори другого рангу мають матриці такого вигляду:

Антисиметричний тензор 2-го рангу називається бівектором.

Будь-який тензор   може бути представлений у вигляді суми симетричного тензора   і антисиметричного .

Доведення слідує з очевидної рівності

                            (2.1)

Тензор

- симетричний тензор, бо .

Тензор

-антисиметричний, бо . Твердження доведено.

Транспонування (перестановка індексів), симетрування і альтернування. Транспонування (перестановка індексів). Компоненти тензора, наприклад коваріантного , можна розглядати як елементи квадратної матриці

Якщо в тензора поміняти місцями індекси, то вийде новий тензор , матриця якого

буде транспонованою по відношенню до матриці (стовпці стануть рядками);

сукупність величини буде перетворюватися за формулами (1.7).

Таким чином, найпростіша операція - перестановка індексів - приводить до побудови нового тензора. Очевидно, що для симетричного тензора перестановка індексів приводить до того ж тензора.

Симетруванням називається операція перестановки пари індексів і подальше додавання отриманого тензора з вихідним тензором. В результаті виходить тензор, симетричний щодо прийнятої пари індексів.

Альтернуванням називається операція перестановки пари індексів і подальше віднімання отриманого тензора від вихідного; при цьому виходить антисиметричний тензор щодо прийнятої пари індексів.

З (2.1) Випливає, що симетрична частина тензора дорівнює половині від результату симетрування, а антисиметрична - половині від результату альтернування.

Наявність у тензора властивості симетрії зменшує число його незалежних компонент.

Число незалежних компонент симетричного тензора 2-го рангу дорівнює 6, антисиметричного 2-го рангу дорівнює 3.

Прикладом симетричного тензора 2-го рангу може служити одиничний тензор .

Прикладом антисиметричного тензора 2-го рангу може служити тензор

, де і - компоненти двох векторів.

Властивості симетрії і антисиметрії тензорів, віднесених до систем узагальнених координат, встановлюються по парах однойменних (коваріантних або контраваріантних) індексів. Так, тензор -симетричний, а - антисиметричний, якщо

Всі інші положення цього параграфа мають силу і для тензорів, що розглядаються в системах узагальнених координат[4.110].

2.3. Одиничний тензор. Метричний тензор

У попередньому розділі було показано (див. 1.4, приклад 2), що відомий з алгебри символ Кронекера є тензором 2-го рангу з матрицею

Тензор носить назву одиничного тензора.

За змістом визначення одиничного тензора його компоненти рівні або нулю (), або одиниці в усіх координатних системах. Це випливає з визначення і (см 1.5).

Множення на тензор з подальшим згортанням часто використовується в алгебраїчних викладках. Наприклад,

У певному сенсі метричний тензор є узагальненням поняттям одиничного тензора Насамперед зазначимо, що квадрат лінійного елемента в прямокутних декартових координатах може бути записаний у вигляді

в той час як в довільних координатах маємо

Крім того, з визначення

випливає, що компоненти предcтавляють собою косинуси кутів між осями однієї якоїсь координатної системи (декартової прямокутної). Тензор (к може бути визначений через - косинуси кутів між осями двох довільних декартових прямокутних систем (див. 1.5), Причому 

У разі введення довільних базисів, що визначають системи узагальнених координат, компоненти метричного тензора визначаються через всі можливі добутки векторів основного і взаємного базисів однієї і тієї ж системи координат:

При цьому, оскільки вектори і не є ортами, компоненти , , визначають косинуси кутів між осями базисів тільки з точністю до множників.

Що стосується коефіцієнтів прямого і зворотного перетворень, то вони також з точністю до множників визначають косинуси кутів між осями різнойменних базисів двох різних систем координат:

Через ці коефіцієнти можуть бути виражені змішані компоненти метричного тензора:

                                                      (*)

Це випливає, наприклад, з (1.5) та визначень (1.39).

Помноживши (1.5) на , отримаємо

звідки - рівність (*).

З визначень одиничного і метричного тензорів випливає:

1) одиничний тензор симетричний ();

2) метричний тензор симетричний (; ).

Висновок

В даній роботі були визначенні і детально розглянуті основні елементи тензорного аналізу, такі як: поняття тензора і типи його компонент, ранги тензорів та дії над тензорами. Стало зрозумілим, що скаляр і вектор, з якими ми так часто працюємо, є частинними випадками тензорів нульового і 1-го рангу, основні операції тензорів це не тільки додавання й множення, а ще й згортання, симетрування, транспонування та альтернування.

Розглянуті в роботі приклади практичного застосування тензорів дають змогу зрозуміти всю важливість тензорного апарату, а саме, тензори є невід’ємною частиною геометрії і фізики. В геометрії вони використовуються у вигляді скалярів і векторів, а у фізиці вони відомі як тензор напруги, тензор моментів інерцій, тензор деформацій  і т. д.

Тому безумовно на роль ефективного засобу опису складних систем різної фізичної природи обґрунтовано претендує апарат тензорного аналізу.

За допомогою тензорного аналізу можна створити універсальні методи, алгоритми й програми для вирішення різних проблем не тільки механіки, а й багатьох прикладних наук таких як гідромеханіка, аеродинаміка, електротехніка, радіоелектроніка, біохімія, електромагнетизм, хімія. Крім того, треба зауважити, що всі тензорні операції дуже легко й ефективно програмуються на універсальних алгоритмічних мовах для ЕОМ. Це обумовлює застосування тензорного апарату в чисельних методах.

Використана література:

1. Блох В.И. Теория упругости. – Харьков: Изд-во Харьк. гос.ун., 1964.-483с

2. Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и основы тензорного исчисления. – Х.: Вища шк. Изд-во при Харьк. Ун-те,1978.– 216 с.

3. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. – М.: Наука. Глав. ред. физ-мат. лит., 1979. – 760 с.

4. Кеплер Х., Киричевский В. В., Ковнеристов Г. Б. Основы тензорного исчисления и его применение в механике твердого тела. – К.: КИСИ, 1992. – 183с.

5. Киричевский В. В. Метод конечных элементов в механике эластомеров. – К.: Наук. думка, 2002. – 655 с.

6. Кильчевский Н. А. Основы тензорного исчисления с применением в механике. –К.: Наук. Думка, 1972. – 148 с.

7. Киричевский В. В. Основи тензорного исчисления и его приложения к задачам механики / Методические указания. – Ворошиловград, 1989. – 94 с.

8. Киричевский В. В., Копылова Н. А. Курс высшей математики.– К.: Наук. думка, – 1998. – 572 с.

9. Кудря В. І., Стреляєв Ю. М. Основи векторного і тензорного аналізу / Методичні вказівки. Запоріжжя: ЗДУ, 1999. – 30 с.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. – М.: Наука, 1973.

11. Лурье А.И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. –939 с.

12. Очан Ю. С. Сборник задач по методам математической физики. – М.: Высш шк., 1973. – 192 с.

13. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. – М.: Наука, 1969.

14. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. – М.: Наука, 1967.

15. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.: Гостехиздат, 1956.

16. Седов Л.И. Механика сплошной среды. – М.: Наука, 1976.

17. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. – М.: Гостехиздат, 1951. – 628с.

18. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. – М.: Изд-во гос.ун., 1974. – 206с.

19. Сокольников И. Тензорный анализ. – М.: Наука, 1971. –373 с.

2