Диофантовые уравнения

Диофантовые уравнения

Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с несколькими неизвестными, все коэффициенты которого - целые числа, решения которого отыскиваются в множестве целых чисел. Диофантовы уравнения могут либо вовсе не иметь решений, либо иметь конечное или бесконечное число решений.

Простейшее диофантово уравнение - линейное уравнение с двумя неизвестными x,y:

ax+by=c,    (1)

где a,b,c - целые числа.

Это так же уравнения:

Такие уравнения, а их называют уравнениями в целых числах, рассматривались еще в глубокой древности. Особенно много ими занимался александрийский математик Диофант, живший в III в.

Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, для которых необходимо найти целые решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух. Эти уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями.

Это, например, уравнения:

Такие уравнения, а их называют уравнениями в целых  числах, рассматривались еще в  глубокой древности. Особенно много  ими занимался александрийский  математик Диофант, живший в III в.

Итак, рассмотрим задачи, приводящие к уравнениям, в  которых неизвестные по смыслу могут  принимать только целочисленные  значения.

Решение задач

Задача  № 1. К однозначному числу слева приписали цифру и получили число в 31 раз больше первоначального. Какое число приписали?

Решение.

Пусть x – однозначное число, у – цифра, которую приписали. Тогда - двузначное число, которое в 31 раз больше однозначного. Составим уравнение:

 
Так как x є N, x изменяется от 1 до 9,

у є N, у изменяется от 1 до 9.

Подбором получаем 

 

Проверка

31 = 31ּ1 31 = 31

62 = 31ּ2 62 = 62

93 = 31ּ3 93 = 93 

Решением уравнения (*), удовлетворяющим условию задачи, являются пары чисел (1;3), (2;6), (3;9).

Ответ: 3; 6; 9.

Задача  № 2. К двузначному числу слева и справа приписали по единице и получили число в 23 раза больше первоначального. Назовите двузначное число?

Решение.

Пусть x – цифра десятков, у – цифра единиц, тогда - двузначное число. Так как к двузначному числу слева и справа приписали по единице, то имеем число 11, которое в 23 раза больше первоначального. Составим уравнение:

Всякое натуральное  число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10, значит, у = 7, х = 7. Решением уравнения является пара чисел (7;7).

Ответ: 77.

Задача  № 3. Стороны прямоугольника выражены целыми числами. Какова длина сторон прямоугольника, если его периметр численно равен площади?

Решение.

Пусть х – длина прямоугольника, тогда у – ширина.

Р = 2 (х + у) – периметр прямоугольника,

S = ху – площадь прямоугольника.

Так как по условию  задачи периметр численно равен площади, то составим уравнение:

Разделим левую  и правую части уравнения на 2ху, имеем:

 

подбором имеем 

 

Решениями уравнения (*) в «натуральных числах» являются пары чисел (3;6); (4;4); (6;3).

Ответ: 3 и 6; 4 и 4; 6 и 3.

Итак, простейший пример диофантового уравнения имеет вид

ах + ву = с, где а, в, с – целые числа.

Чтобы решить такое  уравнение, достаточно выразить одну переменную через другую и ответ найти  подбором, используя признаки делимости.

Д. у. называются также неопределёнными. Простейшее Д. у. ax + by = 1, где а и b — целые Взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений: если x0 и у0 — одно решение, то числа х = x0 + bn, у = y0-an (n — любое целое число) тоже будут решениями. Так, все целые решения уравнения 2x + 3у = 1 получаются по формулам х = 2 + 3n, у = - 1 — 2n (здесь x0 = 2, у0 = - 1). Другим примером Д. у. является x2 + у2 = z2. Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами (См. Пифагоровы числа). Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам х = m2 - n2, у = 2mn, z = m2 + n2, где m и n — целые числа (m> n > 0).

         Диофант в сочинении «Арифметика» занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов Д. у. Общая теория решения Д. у. первой степени была создана в 17 в. французским математиком К. Г. Баше; к началу 19 в. трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гаусса в основном было исследовано Д. у. вида

         ах2 + bxy + су2 + dx + еу + f = 0,

        где а, b, с, d, е, f — целые числа,  т. е. общее неоднородное уравнение  второй степени с двумя неизвестными. Ферма утверждал, например, что  Д. у. x2 — dy2 = 1 (Пелля уравнение), где d — целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер дали способы решения этого уравнения, а Лагранж доказал бесконечность числа решений. С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное Д. у. второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм (См. Квадратичная форма), являющуюся основой решения некоторых типов Д. у. В исследованиях Д. у. степени выше второй с двумя неизвестными были достигнуты серьёзные успехи лишь в 20 в. А. Туз установил, что Д. у.

         a0 xn + a1xn-1y +... + anyn = с

        (где n ≥ 3, a0, а1,..., an, с — целые и многочлен a0tn + a1, tn-1 +...+ an неприводим в поле рациональных чисел) не может иметь бесконечного числа целых решений. Английским математиком А. Бейкером получены эффективные теоремы о границах решений некоторых таких уравнений. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс Д. у., но позволяющий определять границы числа решений. В частности, его методом полностью решается Д. у. вида

         ax3 + y3 =1.

        Существует много направлений  теории Д. у. Так, известной  задачей теории Д. у. является  Ферма великая теорема. Советским  математикам (Б. Н. Делоне, А.  О. Гельфонду, Д. К. Фаддееву и др.) принадлежат фундаментальные работы по теории Д. у.