Функциональные последовательности и ряды

 

Функциональные  последовательности.

Определение:  
 
 
 

Определение: 
 
 
 
 
 
 

Примеры:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

Определение: 

  
 
 
 
 
 

 

Пример.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

Теорема: ( 

Доказательство: 
 

Переходим к  точной верхней грани: 
 
 
 
 
 
 

Теорема (критерий Коши равномерной  сходимости функциональной последовательности): 
 
 

Доказательство: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Теорема: (о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций)  
 

Доказательство: 
 
 
 
 
 
 
 

1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Теорема:(о почленном интегрировании функциональной последовательности) 
 

Доказательство: 
 
 
 
 
 

Следствие: 
 

Теорема: 
 
 
 
 
 

Доказательство: 
 
 
 
 
 
 

Теорема (признак  Вейерштрасса для  последовательностей): 
 
 
 

Доказательство: 
 
 
 
 
 
 
 
 

Функциональные  ряды

Определение: 
 
 
 
 
 

Определение: 
 
 

Определение: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Теорема (критерий Коши равномерной  сходимости функциональных рядов): 
 
 

Следствие (необходимый  признак ): 
 
 

Теорема (признак  Вейерштрасса равномерной  сходимости функциональных рядов): 
 
 
 

Доказательство: 
 
 

Теорема (признаки Абеля и Дирихле  равномерной сходимости функциональных рядов): 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

Теорема: (Равномерно сходящийся ряд непрерывных функций сходится к непрерывной функции) 
 
 

Теорема:(Равномерно сходящийся ряд непрерывных функций можно почленно интегрировать) 
 
 
 
 

Теорема: (о почленном дифференцировании функционального ряда)