Введение

  Выделяют  особый класс функций, представимых  в виде собственного либо несобственного  интеграла, который зависит не  только от формальной переменной, а и от параметра.          Такие функции называются интегралами,  зависящими от параметра. К  их числу относятся гамма и  бета функции Эйлера.

 Бета функции  представимы интегралом  Эйлера  первого рода:

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                       
 

     1. Бэта-функции

Бета – функции  определяются интегралом Эйлера первого  рода:

      =                                             

сходятся при .Полагая =1 – t получим:

      = - =

т.e. аргумент и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

     

 

по формуле  интегрирования почестям имеем

 
     

 

     Откуда

      =                                       

                            

При целом b = n последовательно применяя                                                                 

Получим

                             

при целых  = m, = n,имеем 

но B(1,1) = 1,следовательно: 

     

Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

     

 
 

и в результате подстановки  ,получаем 

     

полагая в(1.1) ,откуда ,получим                                                          

                                           

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и  от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим 

     

=  
 
 
 
 
 
 

2. Гамма-функция

Гамма функцию  определяет интеграл Эйлера второго  рода 

     G(a) =                                         

сходящийся при 0.Положим =ty,t > 0 ,имеем 

     G(a) =  

и после замены , через и t  через 1+t ,получим 

       

Умножая это  равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до , имеем: 

       

или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:

     

 
 

откуда   

                                                                                                                       

                                                                                               

заменяя в (2,1) ,на и интегрируем по частям 

     

 

получаем рекурентною формул                                                            

                                      

так как 

 

но при целом  имеем 

                               

то есть при  целых значениях аргумента гамма-функция  превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в имеем

     3. Производная гамма  функции

     Интеграл 

       

     

сходится при  каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится.

В области  , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можно применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом .Легко видеть что интеграл сходится по в любой области где произвольно. Действительно для всех указанных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Вейерштрасса. Таким образом , в области интеграл cсходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции  при .Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что            функция непрерывна при и , и покажем ,что интеграл :

 

сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое , что и на .Но тогда на справедливо неравенство

      

     

и так как  интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда  в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно  на . Наконец , интеграл

     

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

, очевидно, сходится равномерно  относительно  на . Таким образом , на  интеграл

       

сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство

                .

Относительно  интеграла  можно повторить тоже рассуждения и заключить, что

     

По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при и для ее я -ой производной справедливо равенство

     

Изучим теперь поведение  - функции и построим эскиз ее графика .

Из выражения  для второй производной  -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е.  Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее , поскольку , то  при . При из формулы следует , что  при . 
 
 

Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

Положим для , что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при   функция .    Определив таким образом на , мы можем по  той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. рис.1)

Отметим еще  раз, что интеграл

определяет Г-функцию  только при положительных значениях  , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения . 

     4. Вычисление некоторых интегралов.

     Формула Стирлинга

 
       Применим гамма  функцию к вычислению  интеграла:

 

     

 

 где m > -1,n > -1.Полагая , что ,имеем 

     

                                      

В интеграле

   Где k > -1,n > 0,достаточно положить  

 
 

  Интеграл

  Где s > 0,разложить в ряд 

 

=

где дзетта функция Римана

   Рассмотрим  неполные гамма функции (функции  Прима)

связанные неравенством

   Разлагая, в ряд имеем

  Переходя к выводу формулы  Стирлинга , дающей в частности приближенное значение  n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию  

                                       

    Непрерывна  на интервале (-1, ) монотонно возрастает от до при изменении   от      до и обращаются в 0  при u = 0.Так как

то   при u > 0 и   при u < 0 , далее имеем

   И так  производная непрерывна и положительна  во всем интервале ,удовлетворяет условию

 

 Из предыдущего  следует, что существует обратная  функция,  определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,   

Обращающаяся  в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие 

                                           

  Формулу  Стирлинга выведем из равенства

  полагая ,имеем 

     

   Положим  далее  введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и при .Замечая что(см.3.2)

 

имеем

,                                                                                

полагая на конец , ,получим

или

в пределе при т.е. при (см3.3)

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

                                                    

где ,при                                                                                        

для достаточно больших полагают