Интегрирование некоторых иррациональных выражений

        5) Рассмотрим теперь  еще один интеграл вида  R (sin x, cos х) dх — именно интеграл, под знаком которого стоит произведение sin^mxcosⁿxdx (где m и n—целые числа). Здесь рассмотрим три случая.

        a) Интеграл  от sin^mxcosⁿxd, где m и n таковы, что по крайней мере одно из них нечетное число. Допустим для определенности, что п нечетное. Положим n = 2p + 1 и преобразуем интеграл:

 
 

Сделаем замену переменного

 

Подставляя новую  переменную в данный интеграл, получим:

 

а это  есть интеграл от рациональной функции  от t.

          Пример 4. 
 

Обозначая six = t, cos xdx = dt, получим:

 
 

           б) Интеграл от sin^m xcosⁿ xdx, где m и п—числа неотрицательные и четные, Положим т = 2р, n = 2q.   Напишем   формулы,   известные из тригонометрии 
 

Подставляя в  интеграл, получим

 
 

          Возводя в степень  и раскрывая скобки, получим члены, содержащие cos2x в нечетных и четных степенях. Члены с нечетными степенями интегрируются, как указано в случае а). Четные показатели степеней снова   понижаем  по  формулам (3). Продолжая так, дойдем до членов вида   coskxdx, которые легко интегрируются. 

Интегрирование  некоторых иррациональных функций с помощью  тригонометрических подстановок

Вернемся к  интегралу

 

где а≠0, c-b²/4a ≠0 (в случае а = 0 интеграл имеет вид ,при c-b²/4a =0 выражение

и мы   имеем дело с рациональной функцией, если а > 0, при а < 0 функция

 

не определена ни при каком значении х). Покажем здесь метод преобразования этого интеграла к интегралу вида 

который рассмотрен в предыдущем параграфе.

Произведем   преобразование   трехчлена,   стоящего   под   корнем 

         Сделаем  замену  переменного,   положив

  Тогда 

        Рассмотрим все  возможные случаи.

1.   Пусть                                  Введем      обозначения      а = т²,

          

    В этом случае будем иметь:

2. Пусть

Тогда                                                Следовательно,

3. Пусть  

  Тогда                                                Следователыю,

  4.  Пусть  

    В этом  случае  

  есть  комплексное число при любом  значении х. 
 

        Таким образом, интеграл (1) преобразуется к одному из следующих типов интегралов: 

 
 

Пример. Вычислить   интеграл 

Решение.  Сделаем   замену  x = asinz, тогда

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

       Целью данной курсовой работы ставилось ознакомление с интегрированием иррациональных выражений, рассмотрение интегрирования некоторых классов тригонометрических функций и получение практических навыков в интегрировании иррациональных выражений. Данная курсовая работа может быть использована при углубленном изучении дифференциального исчисления и определенного интеграла. В данной курсовой работе автор привел часть доказательств и сформулированных предложений. В основном рассматривались те доказательства, которые помогают лучше усвоить исследуемый материал , дают алгоритм решения задачи. С помощью данной работы я научился практически применять полученные знания в интегрировании иррациональных выражений. Считаю, что цель курсовой работы достигнута полностью. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  используемой литературы 

1. Высшая  математика для экономистов. Н. Ш. Кремер, Москва 2003 год.