ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 

ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ –«НИНХ» 
 
 
 
 
 
 

Номер группы

Наименование  специальности: «финансы и кредит»

Студент:

Номер зачетной книжки (студенческого  билета):

Учебная дисциплина: Эконометрика

Кафедра: Высшей математике

Номер варианта контрольной  работы: 33

Дата  регистрации  институтом: «___»___________200___г.

Дата  регистрации кафедрой: «___»___________200___г.

Проверил: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2011 г. 

Задача 1

     В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах  и ценах. Для анализа зависимости  цены автомобиля Y от его возраста X₁ и мощности двигателя X₂ из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.

Таблица 1

     1. Парные зависимости

     1.1. Построить поля рассеяний для  цены Y и возраста автомобиля X₁, а также для цены Y и мощности двигателя X₂. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X₁ и Y от X₂ и записать их математически.

     1.2. Методом наименьших квадратов  найти оценки линейных уравнений  регрессии:  , .

     1.3. С помощью коэффициентов парной  корреляции проанализировать тесноту  линейной связи между ценой  и возрастом автомобиля, а также  между ценой и мощностью двигателя.  Проверить их значимость с  надёжностью 0,9.

     1.4. Проверить статистическую значимость  параметров и уравнений регрессии  с надёжностью 0,9.

     1.5. Построить доверительные полосы  надёжности 0,95 для среднего значения  цены автомобиля в зависимости  от его возраста, а также от  мощности двигателя. Изобразить  графически линии регрессии и  доверительные полосы вместе  с полями рассеяний.

1.6. На  продажу поступила очередная  партия однотипных автомобилей.  Их возраст 3 года, мощность двигателя  165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

     2. Множественная зависимость.

     2.1. По методу наименьших квадратов  найти оценки коэффициентов множественной  линейной регрессионной модели 

     2.2. Проверить статистическую значимость  параметров и уравнения множественной  регрессии с надёжностью 0,9.

     2.3. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной надёжностью 0,95.

     3. Экономическая интерпретация.

     На  основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости  цены автомобиля от его возраста и  мощности двигателя. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение

     1. Парные зависимости

     1.1. Построим поля рассеяний для  цены Y и возраста автомобиля X₁, а также для цены Y и мощности двигателя X₂.

Рисунок 1. Поле рассеяния (возраст-цена).

Рисунок 2. Поле рассеяния (мощность-цена).

     На  основе визуального анализа выдвигаем  гипотезы о линейной статистической зависимости Y от X₁ и Y от X₂ и записываем их математически.

     1.2. Методом наименьших квадратов  найдём оценки линейных уравнений  регрессии:

, .

     Оценки  параметров можно получить по формулам.

     Составим  расчётную таблицу.

     Таблица 2.

 
 

     Следовательно,

- зависимость цены от возраста.

- зависимость  цены от мощности.

     1.3. С помощью коэффициентов парной  корреляции проанализируем тесноту  линейной связи между ценой  и возрастом автомобиля, а также  между ценой и мощностью двигателя.  Проверить их значимость с  надёжностью 0,9.

     Коэффициент парной корреляции определяем по формуле.

     1) Проанализируем тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля.

    Рассчитаем  матрицу парных коэффициентов корреляции

    

     Не  существует линейная зависимость между  Х₁ и У, т.к. -1≤ r_x,y ≤ 1 – не выполняется.

     2) Проанализируем тесноту линейной связи между ценой и мощностью двигателя.

    Рассчитаем  матрицу парных коэффициентов корреляции

    

 
 

     Проверим значимость коэффициента корреляции с надёжностью 0,9.

     Проверка  осуществляется по формуле:

     1) В нашем случае для второго коэффициента

     Условие выполняется, следовательно, коэффициент  корреляции существенно отличен  от нуля, и существует сильная линейная положительная связь между х₂ и у.

     1.4. Проверим статистическую значимость  параметров и уравнений регрессии  с надёжностью 0,9.

     Проверим  с помощью критерия Фишера значимость уравнения регрессии (адекватность модели исследуемой зависимости):

     1)

     Рассчитаем  коэффициенты детерминации для зависимости  y от x₂:

т.е. вариация цены на 59% объясняется мощностью автомобиля.

     Рассчитаем  фактическое значение F – статистики Фишера по формуле:

     Пусть доверительная вероятность р=0,9. По таблице найдём: F_t(0,1; 1; 14)=3,1.

Т.к. F_Ф >F_t (0,1; 1; 14), то гипотеза Н₀ отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

     Проверим  статистическую значимость параметров полученной модели:

Для парной регрессии существует связь между  статистиками Стьюдента и Фишера:

,

    Для зависимости y от x₂ получаем: . Т.к. это значение больше =1,761, поэтому гипотезу о равенстве нулю коэффициента β₁ отвергаем.

     1.5. Построим доверительные полосы  надёжности 0,95 для среднего значения  цены автомобиля в зависимости  от его возраста, а также от  мощности двигателя. Изобразим графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.

     Доверительные интервалы среднего значения цены для рассчитываем по формуле.

     

где - соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала в точке; - значение независимой переменной x₁, для которой определяется доверительный интервал; - квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1-a и числом степеней свободы n-2. При a=0,05 t_0,95;14=2,1448.

     Значение  стандартной ошибки S_y определяется по формуле:

     

_где ; - остаточная дисперсия уравнения регрессии.

     Рассмотрим  первое уравнение парной регрессии.

1. - зависимость цены от возраста.

Составим  расчётную таблицу