Элементы математической логики. Высказывания и предикаты

Определение. Отрицанием высказывания А

называется  высказывание , которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, если высказывание А истинно. Таблица истинности отрицания: 

Импликацией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое A   B ( читается "из А следует В" или "если А, то В" ), которое ложно, если А истинно, а В - ложно, и истинно в остальных случаях.

Всем теоремам Т в математике, как высказываниям, можно придать вид импликации двух высказываний :  
T   ( A   B ). Высказывание А называют условием теоремы Т, а высказывание В называют заключением теоремы Т. Или высказывание В называют необходимым условием для высказывания А, а высказывание А называют достаточным условием для высказывания В в теореме T   ( A   B )

Пример. T   "Все натуральные числа, делящиеся на 4, делятся на 2", или, иначе T   "Если число x делится на 4, то число x делится на 2". Здесь приведена импликация, которая истинна, и высказывание  
B   "число x делится на 2" есть необходимое условие для высказывания A   "число x делится на 4", а высказывание А является достаточным условием для высказывания В в этой теореме Т.

Эквиваленцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны.

Отметим, что высказывание типа "А, если и только если В" можно заменить высказыванием "Если А, то В и, если В, то А" (обдумайте это на досуге и обратите внимание на символ <=>). Следовательно, функцию эквиваленции можно заменить комбинацией функций импликации и конъюнкции. Запишем таблицу истинности для эквиваленции:

Тождественно истинные формулы (тавтологии)

Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных (то есть, при любой интерпретации). Законы Де-Моргана являются широко известными примерами тождественно истинных формул логики высказываний:

Законы де Моргана:

1) 

2)