Автор: Пользователь скрыл имя, 15 Мая 2013 в 18:42, курсовая работа
Цели курсовой работы «Элементы теории множеств»:
Изучение исходных понятий теории множеств, а также аксиоматики теории множеств.
Систематизация теоретико-множественной концепции.
Задачи курсовой работы «Элементы теории множеств»:
Поиск наиболее полного, содержательного и объективного ответа на вопросы разделов теории множеств.
Изучение определений и теорем в соответствии с различными научными подходами.
Создание наглядной презентации с целью использования пособия при изучении теории множеств.
Введение 3
Глава 1. Исходные понятия теории множеств 5
1.1. Множество как первоначальное неопределяемое понятие 5
1.2. Способы задания множеств 6
1.3. Равенство множеств 7
Глава 2. Основные теоретико-множественные отношения 8
2.1. Подмножества 8
2.2. Операции над множествами и их свойства 8
2.3. Диаграммы Эйлера-Венна 11
2.4. Прямое произведение множеств 13
2.5. Отношения на множестве 14
Глава 3. Теория бесконечных множеств 16
3.1. Мощность множества 16
3.2. Множество натуральных чисел 16
3.3. Конечные и бесконечные множества 17
3.4. Счетные множества и их свойства 17
3.5. Примеры счетных множеств 18
3.6. Несчетные множества. Мощность континуума 19
Глава 4. Аксиоматика теории множеств 20
4.1. Аксиомы теории множеств 20
4.2. Парадоксы теории множеств 21
Заключение 24
Литература 25
Парадокс бесконечности. Построим бесконечное множество следующим образом: на каждом шаге в множество будем добавлять два элемента из натурального ряда, и после этого убирать первый в порядке следования. Получим следующую схему:
{1, 2}; {2}; {2, 3, 4}; {3, 4}; {3, 4, 5, 6}; {4, 5, 6}…
Возникает вопрос: сколько элементов будет в этом бесконечном множестве? Количество элементов возрастает. Но на первом шаге мы убрали из множества первый элемент, на втором шаге – второй и так далее. Если рассматривать каждый конкретно взятый элемент, то окажется, что его нет во множестве (ведь nÞ¥).
На самом деле парадокса тут никакого нет. Все дело в том, что бесконечные множества устроены существенно сложнее конечных, и интуиция тут не всегда срабатывает правильно.
Столкнувшись с этими
Первый способ – способ Кантора, придумавшего теорию множеств, в которой запрещаются все действия и операции, ведущие к парадоксам. Идея в следующем: разрешается работать с множествами, которые “встречаются в природе”, также разрешается работать с множествами, которые получаются из них разумными теоретико-множественными операциями.
Другой способ – аксиоматический (система аксиом Цермело–Френкеля, система аксиом Геделя–Бернайса).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данная курсовая работа рассматривает основные элементы теории множеств: исходные понятия теории множеств, основные теоретико-множественные отношения, аксиоматику теории множеств. Теоремы и следствия из них имеют содержательное доказательство, сложные в понимании понятия рассмотрены в соответствии с наглядными примерами, что облегчает понимание материала.
На основании найденной
После проделанной работы можно сделать следующий вывод:
Понятия «множества» и «элементы множеств» составляет основной словарь математической логики. Именно эти понятия закладывают основу, которая необходима для дальнейших построений.
На данный момент непротиворечивость теории множеств не установлена, что открывает дальнейшие перспективы в развитии этой концепции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ