Карл Фридрих Гаусс

     Одновременно  указан некоторый способ выяснить, является ли а квадратичным вычетом  для р. Нужно взять остаток r от деления р на 4а (для удобства положительный); разделить (0, r/2) на IaI частей, занумеровав их номерами левых (правых концов), если а – положительное (отрицательное); сосчитать число v целых точек, попавших в интервалы с нечетными номерами; а–квадратичный вычет в том и только в том случае, когда v четно.

     Дополнение  к гипотезе Эйлера. Пусть р и q – простые числа и р + q = 4а. Тогда а одновременно является или квадратичным вычетом по модулю p и q, или квадратичным невычетом.

     Доказательство. Выполним построения, указанные при доказательстве гипотезы Эйлера для интервалов (0, р/2), (0,q/2), а = (p+q)/4.

     Для удобства расположим интервалы так, чтобы они имели точку 0 общей, находясь по разные стороны от нее; при этом интервал (0,q/2) мы перевернем (рис. 4). Пусть v(p), v(q) – число целых точек в интервалах с нечетными номерами для р и q соответственно. Нам достаточно доказать, что v(p)+v(q) – четно. Пусть v_j(p), v_j(q) – число целых точек в соответствующих интервалах с номерами j. Легко видеть, что v_j(p)+ v_j(q) =2 при j>0, откуда и будет следовать нужный результат.

     Действительно, на интервале между j-ми левой и  правой точками (J>0) лежит 2j целых точек, поскольку, как мы уже отмечали, на интервале длины 2j  с нецелочисленными концами лежит 2j целых точек.

     Квадратичный  закон взаимности. В 1798 г. Лежандр указал очень удобное утверждение, эквивалентное гипотезе – квадратичный закон взаимности. Введем обозначение – так называемый символ Лежандра:

     В силу критерия Эйлера

     Отсюда  сразу следует мультипликативное  свойство символа Лежандра: 

     Отметим также, что символ Лежандра можно  доопределить для всех а, не делящихся  на р, с сохранением (7), (8), полагая  

     Квадратичный  закон взаимности. Если p, q – нечетные простые числа, то  

     Другими словами, (p/q) и (q/p) имеют противоположные знаки, если p = 4l+3, q = 4m+3, и совпадают в остальных случаях.

     Название  закона связано с тем, что в  нем устанавливается «взаимность» между вопросами о том, когда  р – квадратичный вычет по модулю q и когда q – квадратичный вычет по модулю р.

     Доказательство. Всегда или p – q = 4a, или p + q = 4a.

     I случай. Пусть p – q = 4а, т.е. р и q имеют одинаковые остатки при делении на 4. Тогда    (мы воспользовались (9), (8) и тем, что при всех q). Далее, . В силу уже доказанной гипотезы Эйлера , т.е. при и при . Остается вспомнить, что при р = 4l+1, при р = 4l+3.

     II случай. Пусть p + q = 4a, т.е. p  и q имеют разные остатки при делении на 4. Имеем . Аналогично, . В силу дополнения к гипотезе Эйлера , т.е. . Доказательство окончено.

     Нетрудно  заметить, что  проведенные рассуждения  можно обратить и вывести из квадратичного  закона взаимности гипотезу Эйлера и  дополнение к ней. Отметим еще, что  формулы (8) – (10) дают способ вычисления    существенно более простой, чем описанный выше комбинаторный способ.  Проиллюстрируем это на примере: , т.к. ; . Легко показать, что вычисление символа Лежандра всегда можно свести к случаю, когда р или q равно 2.

     Открытия  Гаусса в других областях науки

     Любимейшая  наука величайших математиков. Это один из многочисленных эпитетов, которыми Гаусс наделял арифметику (теорию чисел). К тому времени арифметика из набора изолированных наблюдений и утверждений уже превратилась в науку.

     Позднее Гаусс пишет: «Главным образом, более  поздним исследователям, правда немногочисленным, но завоевавшим непреходящую славу, - таким, как Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр, мы обязаны тем, что они нашли  доступ к сокровищнице этой божественной науки и показали, какими богатствами  она наполнена».

     Одна  из самых удивительных сторон «феномена  Гаусса» заключается в том, что  он в своих первых работах практически  не опирался на достижения предшественников, переоткрыв за короткий срок то, что  было сделано в теории чисел за полтора века трудами крупнейших математиков.

     Гаусс использует пребывание в Геттингене для изучения трудов классиков, он переосмысливает  их достижения, сопоставляет с тем, что он открыл сам. По его замыслу  результаты этой деятельности должны были быть подытожены во всеобъемлющем  труде. К написанию этой книги  Гаусс приступает после возвращения  в Брауншвейг в 1798 г. после окончания  университета. В книгу должны были войти собственные результаты, все  еще остававшиеся неопубликованными, если не считать газетной заметки, в  которой сообщалось: «Это открытие является собственно лишь следствием одной еще не совсем законченной  большой теории. КАК только она  получит эту законченность, она  будет предложена публике». На осуществление  грандиозного замысла ушло четыре года напряженной работы.

     В 1801 г. вышли знаменитые «Арифметические  исследования» Гаусса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного формата) содержит основные результаты Гаусса: квадратичный закон взаимности, задачу деления круга, вопрос о представлении  целых чисел в виде am²+bmn+cn² (в частности, в виде суммы квадратов). Книга была издана на средства герцога и ему посвящена. В изданном виде книга состояла из семи частей. На восьмую часть денег не хватило. В этой части речь должна была идти об обобщении закона взаимности на степени выше второй, в частности – о биквадратичном законе взаимности. Полное доказательство биквадратичного закона Гаусс нашел лишь 23 октября 1813 г., причем в дневниках он отметил, что это совпало с рождением сына.

     Клейн писал: «В своих «Арифметических  исследованиях» Гаусс в полном смысле этого слова создал современную  теорию чисел и предопределил  все ее дальнейшее развитие до нынешнего  дня. Восхищение этим трудом возрастает еще больше, когда наблюдаешь, как  Гаусс без всякого внешнего побуждения с самого начала черпает этот мир  из самого себя».

     За  пределами «Арифметических исследований»  Гаусс, по существу, теорией чисел  больше не занимался. Он лишь продумывал и доделывал то, что было задумано в те годы. Например, он придумал еще  шесть разных доказательств квадратичного  закона взаимности. «Арифметические  исследования» сильно опередили  свое время. В процессе их создания Гаусс не имел серьезных математических контактов, а вышедшая книга долго  не была доступна никому из немецких математиков. Во Франции, где можно было рассчитывать на интерес Лагранжа, Лежандра и  др., книге не повезло: обанкротился книготорговец, который должен был  распространять книгу, и большая  часть тиража пропала. В результате ученикам Гаусса приходилось позднее  переписывать отрывки из книги от руки. Положение в Германии стало меняться лишь в сороковых годах, когда Дирихле основательно изучил «Исследования» и читал по ним лекции. А в Казань – к Бартельсу и его ученикам – книга попала в 1807 г.

     «Арифметические исследования» оказали огромное влияние на дальнейшее развитие теории чисел и алгебры. Отталкиваясь от работы Гаусса о делении круга, Галуа  пришел к решению вопроса о  разрешимости уравнений в радикалах. Законы взаимности до сих пор занимают одно из центральных мест в алгебраической теории чисел.

     Гельмштадтская  диссертация.  В Брауншвейге Гаусс не имел литературы, необходимой для работы над «Арифметическими исследованиями». Поэтому он часто ездил в соседний Гельмштадт, где была хорошая библиотека. Здесь в 1798 г. Гаусс подготовил диссертацию, посвященную доказательству Основной теоремы алгебры – утверждения о том, что всякий многочлен с комплексными (в частности – действительными) коэффициентами имеет комплексный корень (если хотеть оставаться в области действительных чисел, то Основную теорему алгебры можно сформулировать так: всякий многочлен с действительными коэффициентами раскладывается в произведение многочленов первой и второй степени). Гаусс критически разбирает все предшествующие попытки доказательства и с большой тщательностью проводит идею Даламбера. Безупречного доказательства все же не получилось, так как не хватало строгой теории непрерывности. В дальнейшем Гаусс придумал еще три доказательства Основной теоремы.

     Лемниската  и арифметико –  геометрическое среднее. В 1791 г., когда Гауссу было 14 лет, его занимала следующая игра. Он брал два числа a₀, b₀  строил для них среднее арифметическое a₁ = (a₀ + b₀)/2 и среднее геометрическое b₁ = .  Затем он вычислял средние от a₁, b₁: a₂ = (a₁ + b₂)/2, b₂ = , и т.д. Гаусс вычислял обе последовательности с большим числом знаков. Очень скоро он уже не мог различить a_n и b_n – все вычисленные знаки совпадали. Другими ловами, обе последовательности быстро стремились к общему пределу М (a₀, b₀) (называемому арифметико – геометрическим средним).

     В те же годы Гаусс много возился  с кривой, называемой лемнискатой (или  лемнискатой Бернулли), - множеством точек, произведение расстояний каждой из которой до двух фиксированных  точек О₁, О₂ (фокусов) постоянно и равно (1/2IО₁, О₂I)². К систематическому изучению лемнискаты Гаусс перешел в 1797 году. Он долго пытается найти длину лемнискаты, пока не догадывается, что она равна IО₁,О₂I. Неизвестно, как Гаусс сообразил это, но известно, что это было 30 мая 1799 г. и что, не имея вначале доказательства, он сосчитал обе величины с одиннадцатью десятичными знаками. Гаусс придумал для лемнискаты функции, аналогичные тригонометрическим функциям для окружности. Например, для лемнискаты, расстояние между фокусами которой равно , лемнискатный синус sl t – это просто длина хорды, соответствующей дуге длины t. Последние годы XVIII столетия у Гаусса уходят на построение теории лемнискатных функций. Для них были получены теоремы сложения и приведения, аналогичные теоремам для тригонометрических функций.

     От  лемнискатных функций Гаусс переходит  к их обобщению – эллиптическим  функциям. Он понимает, что речь идет о «совершенно новой области  анализа».  После 1800 г. Гаусс уже  не смог уделять эллиптическим функциям столько времени, сколько было необходимо для доведения теории до состояния, удовлетворяющего его своей полнотой и строгостью. С самого начала он отказался от регулярных публикаций, надеясь опубликовать все разом, как это было с арифметическими работами. Однако заботы так никогда и не доставили ему необходимого времени.

     В 1808 г. он пишет своему другу и ученику  Шумахеру: «С круговыми и логарифмическими функциями мы умеем теперь обходиться как единожды один, но великолепный золотой родник, хранящий сокровенное  высших функций, остается пока почти  неизведанной областью. Я очень много  работал над этим прежде и со временем дам собственный большой труд об этом, на что я намекал еще  в моих «Арифметических исследованиях». Приходишь в изумление от чрезвычайного  богатства новых и в высшей степени интересных истин и соотношений, доставляемых этими функциями».

     Гаусс считал, что может не торопиться с публикацией своих результатов. Тридцать лет так и было. Но в 1827 г. сразу два молодых математика – Абель и Якоби – опубликовали многое из того, что было им получено.

     «Результаты Якоби представляют часть моей собственной  большой работы, которую я собираюсь  когда-нибудь издать. Она будет представлять исчерпывающий труд на эту тему, если только небесам будет угодно продлить мою жизнь и даровать мне силы и душевный покой» (письмо Шумахеру).

     «Господин Абель предвосхитил многие мои мысли  и примерно на треть облегчил мою  задачу, изложив результаты с большой строгостью и изяществом. Абель шел тем же путем, что и я в 1798 г., поэтому нет ничего невероятного в том, что мы получили столь схожие результаты. К моему удивлению, это сходство распространяется даже на форму, а местами и на обозначения, поэтому многие его формулы кажутся списанными с моих. Но чтобы никто не понял меня не правильно, я должен добавить, что не помню ни одного случая, когда я говорил об этих исследованиях с кем-нибудь из посторонних» (письмо Бесселю).

       Следует отметить, что замечание  Гаусса в «Арифметических исследованиях»  о том, что теорию деления  круга можно перенести на лемнискату, оказало большое влияние на  Абеля.

     С наступлением нового века научные интересы Гаусса решительно сместились в сторону  чистой математики. Он много раз  эпизодически будет обращаться к  ней и каждый раз получать результаты, достойные гения. В 1812 г. он опубликовал  работу о гипергеометрической функции. (Эта функция зависит от трех параметров. Придавая им конкретные значения, можно  получить большинство функций встречающихся  в математической физике.) Широко известна заслуга Гаусса в геометрической интерпретации комплексных чисел. Однако никогда математика уже не будет главным делом его жизни. Характерный внешний штрих: в 1801 г. Гаусс прекращает регулярно вести  дневник (хотя отдельные записи появляются до 1844 г.).

     Малые планеты. Расскажем о новом увлечении Гаусса. Биографы много спорили о причинах, по которым Гаусс начал заниматься астрономией. Прежде всего надо иметь в виду, что, начиная с работ Кеплера, Галилея и Ньютона, астрономия была наиболее ярким местом приложения математики. Эта традиция была продолжена в трудах Эйлера, Даламбера, Клеро, Лагранжа, Лапласа. Предсказывая и объясняя небесные явления, математики чувствовали себя как бы допущенными к тайнам мироздания. Гаусс, с его ранним интересом к конкретным вычислениям, не мог, конечно, не попробовать  своих сил на этом традиционном поприще.