Классы фиттинга конечных групп

Автор: Пользователь скрыл имя, 03 Апреля 2013 в 01:23, дипломная работа

Описание работы

Возникновение понятия группы стало новым витком в алгебре и началом абстрактной алгебры как таковой. Истоки понятия группы обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из которых – теория решений алгебраических уравнений в радикалах. В 1771 г. французские математики Ж. Лагранж и А. Вандермонд впервые для нужд этой теории применили подстановки. Затем, в ряде работ итальянского математика П. Руффини (1

Содержание

Введение
Глава 1. Используемые обозначения, определения и известные результаты
§1. Группы и их подгруппы. Централизаторы и нормализаторы
§2. Разрешимые, сверхразрешимые, нильпотентные и холловы группы
§3. Прямое, полупрямое произведения и сплетение групп
Глава 2. Классы Фиттинга и их свойства
§1. Простейшие свойства классов Фиттинга
§2. F-радикалы и F-инъекторы. Нормальные классы Фиттинга
1. F-радикалы и F-инъекторы
2. Нормальные классы Фиттинга
§3. Произведение классов Фиттинга
§4. Практические примеры
Заключение
Библиография

Работа содержит 1 файл

Классы Фиттинга.doc

— 614.50 Кб (Скачать)

Лемма 2.5.

Пусть F – G-класс Фиттинга. Если Hi является субнормальной F-подгруппой конечной группы G для любого i=1, 2, … , t , то Hi | i=1, 2, … , t F.

□ Допустим, что группа G – контрпример минимального порядка. Пусть

K= Hi | i=1, 2, … , t . Тогда Hi субнормальна в K. Если |K|<|G|, то по индукции K F. Пусть G=K. Так как Hi субнормальна в G, то в G существует нормальная подгруппа Gi такая, что Hi Gi G для любого i=1, 2, … , t. Тогда Hig является

F-подгруппой и субнормальна в Gi для любого g G и любого i=1, 2, … , t. Так как |Gi|<|G|, то по индукции Hig | g G =HiG F. Значит

G= Hi | i=1, 2, … , t HiG | i=1, 2, … , t F. Так как HiG Gi G, то

G= HiG | i=1, 2, … , t , и, значит, Hi | i=1, 2, … , t F. Лемма доказана. ■

 

 

Теорема 2.2.

Пусть F – S-класс Фиттинга. Если p π(F), то F содержит все конечные

p-группы, т.е. Np F.

□ Так как p π(F), то в F существует группа G такая, что p | |G|. Тогда G обладает композиционным фактором H/K порядка p. По лемме 2.4. H F. Рассмотрим группу B=H A, где |A|=p. Так как B/K – элементарная абелева группа порядка p2, то B/K содержит p+1 подгруппу порядка p. Пусть H1/K – подгруппа порядка p из B/K, отличная от H/K и AK/K. Тогда B=H1 A и H≠H1. Так как H B/A H1, то H H1, и, значит, H1 F. Далее B=H·H1, и, значит, по О.2.5. B F. Так как A нормальна в B, то A F. Следовательно, F содержит все группы порядка p. Покажем, что F содержит циклическую p-группу порядка pn для любого n . Предположим, что F содержит циклическую группу C порядка

pn-1. Рассмотрим сплетение D=C≀A, которое является расширением прямого произведения p циклических групп порядка pn-1 с помощью группы порядка p.

Тогда группа D порождается p+1 подгруппой, каждая из которых субнормальна в D и принадлежит F. Тогда по лемме 2.5. D F. Пусть D= , где |Ci|=pn-1 для любого i=1, 2, … , p, |a|=p, Cia=Ci+1 для любого i=1, 2, … , p-1 и Cpa=C1. Рассмотрим элемент C=C1a-1. Тогда

C2=C1a-1·C1a-1=C1C2a-2; C3=C1C2a-2·C1a-1=C1C2C1a2a-3=C1C2C3a-3 и

Cp=C1C2…Cp. Отсюда следует, что |C|=pn. Следовательно, D содержит циклическую группу L порядка pn. Так как L субнормальна в D и D F, то по лемме 2.4. L F. Следовательно, F содержит все конечные циклические

p-группы. Так как любая конечная p-группа P порождается конечным числом циклических p-подгрупп, которые субнормальны в P и принадлежат F, то по лемме 2.5. P F. Следовательно, Np F. Теорема доказана. ■

§2. F-радикалы и F-инъекторы. Нормальные классы Фиттинга

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые приложения классов Фиттинга к теории групп. В частности, установим существование и сопряжённость в конечной разрешимой группе F-инъекторов для любого непустого класса Фиттинга F.

Так же, мы обзорно рассмотрим некоторые свойства нормальных классов  Фиттинга, занимающих важное место  в теории радикальных классов.

1. F-радикалы и F-инъекторы

Для изложения этого  пункта нам потребуются некоторые сведения из теории формаций.

О.2.6. Класс групп F называется формацией, если выполняются следующие условия:

  1. каждая фактор-группа любой группы из F так же принадлежит F;
  2. из H/A F, H/B F всегда следует H/A∩B F.

О.2.7. Пусть F – непустая формация групп. Обозначим через GF и назовём

F-корадикалом группы G пересечение всех нормальных подгрупп M из G таких, что G/M F.

О.2.8. Пусть F – непустой класс групп. F-подгруппа H группы G называется F-проектором в G, если из H U G и U/U0 F всегда следует, что U=H·U0.

О.2.9. Подгруппа K группы G называется подгруппой Картера (или картеровской подгруппой), если K нильпотентна и NG(K)=K.

Теорема 2.3.

Для любой конечной разрешимой группы G справедливы утверждения:

а) множество подгрупп Картера группы G совпадает с множеством всех

N-проекторов группы G.

б) G обладает по крайней мере одной подгруппой Картера и любые две из них сопряжены в G.

О.2.10. Пусть F – непустой X-класс Фиттинга. F-радикалом X-группы G называется группа GF, порождённая всеми нормальными F-подгруппами из G.

Лемма 2.6.

Пусть F является X-классом Фиттинга, К – нормальная X-подгруппа

X-группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) GF является характеристической F-подгруппой группы G.

б) KF= GF∩K.

□ а) Пусть F является X-классом Фиттинга и G есть X-группа. Если N – нормальная F-подгруппа группы G и φ – автоморфизм G, то Nφ N, и, значит, Nφ является нормальной F-подгруппой группы G. Если J является множеством всех нормальных F-подгрупп группы G, то GF= N | N J . Так как Nφ пробегает всё множество J, когда N пробегает всё множество J, то GFφ= Nφ | N J =GF, то GF является характеристической подгруппой в G, причём по О.2.3. GF F.

б) Пусть K – нормальная X-подгруппа X-группы G. Так как GF∩K нормальна в GF и GF F, то в силу замкнутости F относительно нормальных подгрупп, получим GF∩K F. Далее GF∩K нормальна в K и GF∩K F, значит по О.2.3. GF∩K KF. Так как KF характеристична в K, то KF нормальна в G. Далее KF F. Следовательно, по О.2.3. KF GF, и, значит, KF GF∩K. Из включений GF∩K KF и KF GF∩K следует, что KF=GF∩K. ■

О.2.11. Пусть X – класс групп. Подгруппа H группы G называется

X-максимальной в G, если H X и не существует X-подгруппы K в G, такой, что H K.

 

О.2.12. Пусть X – класс групп. Подгруппа V группы G называется

X-инъектором в G, если для любой субнормальной подгруппы N в группе G пересечение V∩N является X-максимальной подгруппой в N.

Лемма 2.7.

Пусть X – класс групп и α – автоморфизм группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если V является X-инъектором группы G, то и Vα тоже является

X-инъектором группы G.

б) если V является X-максимальной подгруппой группы G, то и Vα тоже является X-максимальной подгруппой группы G.

□ а) Пусть N – субнормальная подгруппа группы G. Так как V является

X-инъектором в G, то по О.2.12. V∩N является X-максимальной подгруппой группы N. Тогда (V∩N)α= Vα∩Nα является X-максимальной подгруппой группы Nα. Действительно, допустим, что существует X-подгруппа H в Nα такая, что (V∩N)α H Nα. Так как α – автоморфизм группы G, то α-1 тоже является автоморфизмом группы G. Следовательно, или . Так как H и H X, то X, что противоречит тому, что V∩N является X-максимальной подгруппой в N. Следовательно, Vα∩Nα является X-максимальной подгруппой в Nα. Так как Nα пробегает все субнормальные подгруппы группы G, когда N пробегает все субнормальные подгруппы группы G, то Vα является X-инъектором группы G.

б) Пусть V является X-максимальной подгруппой группы G. Полагая в пункте а) N=G получим, что Vα является X-максимальной подгруппой группы Gα=G. ■

 

 

Лемма 2.8.

Пусть F – непустой класс Фиттинга в G, G – конечная разрешимая группа, N – нормальная группа в G, такая, что G/N нильпотентна. Если W является

F-максимальной подгруппой в N, а V1 и V2 являются F-максимальными подгруппами в G с W V1∩V2 , то V1 и V2 сопряжены в G.

□ Допустим, что группа G – контрпример минимального порядка. Так как Vi F, i=1, 2 и N∩Vi нормальна в Vi , то N∩Vi F для любого i=1, 2. По условию W N∩Vi для любого i=1, 2. Так как W является максимальной F-подгруппой группы N, то N∩V1=W=N∩V2.

Предположим, что W не является нормальной подгруппой в G. Тогда T=NG(W) является собственной подгруппой группы G, причём V1 , V2 T. Так как TN/N G/N, то TN/N нильпотентна. Следовательно, T/T∩N TN/N нильпотентна. Далее, V1 и V2 являются F-максимальными подгруппами группы T, и W является максимальной подгруппой в T∩N. Так как |T|<|G|, то по индукции V1 и V2 сопряжены в группе T, а значит, сопряжены и в группе G. Получили противоречие.

Следовательно, W нормальна в G. Пусть Mi/W=NG/W(Vi/W) и Сi/W – подгруппа Картера группы Mi/W, i=1, 2. Так как MiN/N Mi/Mi∩N нильпотентна, то существует натуральное число r – класс нильпотентности группы G/N такое, что = Mi∩N/Mi∩N.

Отсюда следует, что  Mi∩N. Так как Vi нормальна в Mi , то

[Vi , Mi] Vi и Vi∩(Mi∩N)=Vi∩N=W, i=1, 2. Следовательно, =W/W, и, значит, Vi/W содержится в гиперцентре группы Mi/W, i=1, 2. Так как подгруппа картера Ci/W группы Mi/W самонормализуема в Mi/W, то Z(Mi/W) Ci/W и индукцией по длине нильпотентности нетрудно показать, что и гиперцентр группы Mi/W содержится в подгруппе Картера Ci/W, i=1, 2. Следовательно, Vi/W Ci/W, причём Vi нормальна в Ci, i=1, 2. Покажем, что Ci/W, i=1, 2 является подгруппой Картера группы G/W. Пусть X NG(Gi), т.е. Cix=Ci, i=1, 2. Тогда Vix Cix Ci. Так как Vi, Vix F и Vi, Vix нормальны в Ci, то ViVix F, i=1, 2. Так как Vi является F-максимальной подгруппой в G, то ViVix=Vi, и, значит, Vix=Vi, т.е. x NG(Vi). Следовательно, xW Mi/W. Так как Ci/W самонормализуема в Mi/W и (Ci/W)xW=Cix/W=Ci/W, то x Ci, i=1, 2. Следовательно, Ci/W самонормализуема в G/W, и, значит, Ci/W является подгруппой Картера группы G/W для любого i=1, 2. Тогда по теореме 2.3. Сi/W и C2/W сопряжены в G/W. Следовательно, существует элемент yW G/W такой, что (C1/W)yW=C2/W. Тогда C1y=C2, где y G, и, значит, V1y C1y C2. Так как V2 и V1y являются нормальными F-подгруппами группы C2, то V2V1y F. По условию V2 является F-максимальной подгруппой группы G. Следовательно, V2V1y=V2 . Отсюда следует, что V1y V2. Так как V1 является F-максимальной подгруппой группы G, то по лемме 2.6 V1y тоже является F-максимальной подгруппой группы G. Тогда V1y =V2, где y G, и, значит, V1 и V2 сопряжены в G. Получили противоречие. Лемма доказана. ■

Теорема 2.3.

Пусть F – непустой класс Фиттинга в G. Если G – конечная разрешимая группа, то G обладает F-инъекторами и любые два F-инъектора группы G сопряжены в G.

□ Допустим, что группа G – контрпример минимального порядка. Тогда |G|>1. Пусть M – собственная нормальная подгруппа группы G, такая, что G/M – нильпотентная группа. Так как |M|<|G|, то по индукции в M существует

F-инъектор U, и любые два F-инъектора группы M сопряжены в M. Пусть V1 – F-максимальная подгруппа группы G, содержащая U. Покажем, что V1 является F-инъектором группы G. Для этого достаточно показать, что V1∩G1 является

F-инъектором группы G1 для любой максимальной нормальной подгруппы G1 группы G. В самом деле, если H субнормальна в G, то H субнормальна в некоторой максимальной нормальной подгруппе G1 группы G. Тогда (V1∩G1)∩H=V1∩H – F-максимальная подгруппа группы H, и, значит, V1 является F-инъектором группы G. Следовательно, осталось показать, что V1∩G1

F-инъектор группы G1. Пусть N=G1∩M. Так как G/M N, G/G1 N и N является формацией, то G/M∩G1≡N, то есть G/N является нильпотентной группой. Так как |G1|<|G|, то по индукции в G1 существует F-инъектор V, и любые два

F-инъектора группы G1 сопряжены в G1. Тогда V∩N и U∩N являются

F-максимальными подгруппами группы N. Пусть N1 субнормальна в N. Тогда N1 субнормальна в G1. Так как V является F-инъектором группы G1, то по О.2.12. V∩N1=(V∩N)∩N1 является F-максимальной в N1. Поэтому V∩N является

F-инъектором группы N. Аналогично U∩N – F-инъектор группы N. Так как по индукции любые два F-инъектора группы N сопряжены в N, то существует a N такой, что U∩N=(V∩N)a=Va∩N. Так как V1∩N нормальна в V1 и V1 F, то V1∩N F, причём U∩N V1∩N. Учитывая, что U∩N является F-максимальной подгруппой в N, получим U∩N=V1∩N=W. Пусть V2 F-максимальная подгруппа группы G, содержащая Va. Так как G/N нильпотентна, W – F-инъектор группы N, а V1 и V2 являются F-максимальными подгруппами группы G, такими, что W V1∩V2, то по лемме 2.8. V1 и V2 сопряжены в G. Следовательно, V1x=V2 для некоторого x из G. Тогда (V1∩G1)x=V1x∩G1=V2∩G1=Va, и, значит, V1∩G1= . Так как V является F-инъектором группы G1 и элемент ax-1 индуцирует через сопряжение автоморфизм группы G1, то по лемме 2.7. является

F-инъектором группы G1, и, значит, V1∩G1 является F-инъектором группы G. Получили противоречие.

Пусть W1 и W2 являются F-инъекторами группы G. Докажем, что W1 и W2 сопряжены в G. Так как M нормальна в G, то по О.2.12. Wi∩M, i=1, 2 является

F-максимальной подгруппой группы M. Если L субнормальна в M, то L субнормальна в G, и, значит, L∩Wi=L∩(Wi∩M), i=1, 2 является F-максимальной подгруппой группы L. Следовательно, W1∩M и W2∩M являются F-инъекторами группы M. Так как |M|<|G|, то по индукции W1∩M и W2∩M сопряжены в M. Следовательно, (W1∩M)y=W2∩M, где y M. Тогда W1y∩M=W2∩M. Так как W1y и W2 являются F-максимальными подгруппами группы G, G/M нильпотентна и V2∩M – F-инъектор группы M, то по лемме 2.8. W1y и W2 сопряжены в G, а значит W1 и W2 сопряжены в G. Получили противоречие. Теорема доказана. ■

Следствие 2.3.

Пусть F – непустой класс Фиттинга в G и E=G0 G1 Gn=G – субнормальный ряд конечной группы G, такой, что Gi+1/Gi – нильпотентная группа для любого i=0, 1, 2, … , n-1. Подгруппа V группы G тогда и только тогда является F-инъектором в G, когда V∩Gs F-максимальная подгруппа группы Gs для любого s=0, 1, 2, … , n.

Информация о работе Классы фиттинга конечных групп