Контрольная работа по "Математике"

 

01.01.2011                                 ФГОУ ВПО МГАУ им. В.П. Горячкина

10.01.2011 
 
 
 
 
 
 

ТЕТРАДЬ

Для___________ Контрольная работа ____________

_______________ по математике __________

___________________________________________

___________________________________________

__________________Коплик  Юля_______________

__________________Викторовна_______________ 
 
 
 
 

Группа 02-М

Шифр 10257-М

Вариант-57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа №4 

1.Вычислить  частные производные первого  и второго порядков от заданных  функций

.

Решение.

; ;

; ;

. 

2.Исследовать  заданную функцию на экстремум. 

.

Решение.

, .

Точки, в которых  частные производные не существуют, отсутствуют.

Найдём стационарные точки:

; ; .

- экстремума нет. 

3.Требуется: 1) построить на плоскости xOy область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования; 3) вычислить площадь области при заданном и изменённом порядках интегрирования.

Решение.

 

4.Вычислить  объём тела, ограниченного указанными  поверхностями. Данное тело и  область интегрирования изобразить  на чертеже.

.

Решение.

 

5.Дан криволинейный  интеграл  и две точки M и N плоскости хОу. Установить независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования и вычислить его по контуру, связывающему точки M и N.

.

Решение.

Уравнение прямой ,

.

По ломаной  . , ,

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа №5 

1.Найти общее  решение (общий интеграл) дифференциальных  уравнений первого порядка.

Решение.

Т.к. , то , .

Отсюда  , .

Следовательно, , ,

Общее решение: . 

2. Даны дифференциальные  уравнения второго порядка, допускающие  понижение порядка. Найти частное  решение, удовлетворяющее указанным  начальным условиям.

,   ,   . 

Решение. 

Пусть , тогда ,

 

Т.к. и , то  

При заданных начальных условиях .

Частное решение: . 
 
 
 
 
 

3. Найти частные  решения дифференциальных уравнений,  удовлетворяющие данным начальным  условиям.

;   ;    

Решение. 

Характеристическое  уравнение  имеет два сопряжённых корня , поэтому общее решение однородного уравнения

.

Правой части  соответствуют частные решения  вида , , т.е .

 Отсюда  , .

При заданных начальных условиях

 

4. Даны числовые  ряды.

а) Исследовать сходимость рядов с положительными членами;

б) Исследовать сходимость знакочередующегося ряда по признаку Лейбница, в случае сходимости исследовать  на абсолютную и условную сходимость.

а)    б) .

Решение.

а) Используем признак  сходимости Даламбера: , следовательно, ряд сходится.

б) Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно  убывает:

Общий член ряда стремится  к нулю:

Условия Лейбница выполнены, ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из модулей: .

Т.к. , то ряд расходится.

Следовательно, исходный ряд сходится условно. 

5. Даны степенные  ряды. Написать первые четыре  члена ряда, найти интервал сходимости  степенного ряда и исследовать  сходимость ряда на концах  найденного интервала.

Решение.

Ряд сходится при 

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка:

При имеем расходящийся ряд .

При - ряд , который так же расходится.

Следовательно, исходый  ряд сходится при  . 

6. Требуется вычислить  определенный интеграл с точностью  до 0,001 путем предварительного разложения  подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Решение.

В нашем случае , вместо берём :

Т.к. , а , то с заданной точностью . 

7. При указанных  начальных условиях найти три  первых, отличных от нуля члена  разложения в степенной ряд  функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

;     .

Решение.

Будем искать решение  уравнения в виде

;

;

;

Подставляя найденные  значения в ряд, получим:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа №6 

1. Среди деревьев  во фруктовом саду 20% составляют  сливы; 30% составляют груши; а остальные  яблони. Вероятность того, что слива  поражена вредителями, равна 0,4, для груши и яблони эта вероятность  составляет 0,2 и 0,5 соответственно. Найти  вероятность того, что оба из  осмотренных деревьев одного  вида, поражены вредителями.

Решение.

Введём обозначения: пусть  - «осмотрены две сливы», - «осмотрены две груши», - «осмотрены две яблони», - «деревья повреждены вредителями».

По условию задачи, , , , , , .

По формуле общей  вероятности, . 

2. Две независимые  случайные дискретные величины X и Y заданы своими законами  распределения. Построить ряд  распределения для случайной  величины Z. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z и проверить вычисления по свойствам математического ожидания и дисперсии.

 

Решение.

Случайная величина может принимать значения:

,

,

_,

_,

_,

_,

_,

_,

_{Запишем полученный закон  распределения таблично:}

 

Математическое ожидание

Дисперсия

Проверим вычисления, используя свойства математического  ожидания и дисперсии:

 

3. Задана плотность  распределения непрерывной случайной  величины f(x). Построить кривую распределения, найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность попадания случайной величины на заданный интервал [α; β].

f(x)=

Решение.

Построим графики  плотности распределения и функции  распределения:

;

; .

. 

4. Дано, что детали, выпускаемые цехом, распределены  по размеру диаметра по нормальному  закону. Стандартная длина диаметра  детали (математическое ожидание) равна  а мм, среднее квадратическое  отклонение –σ мм. Найти: 1) вероятность  того, что диаметр наудачу взятой  детали будет больше α мм  и меньше β мм; 2) вероятность  того, что диаметр детали отклонится от стандартного размера не более чем δ мм. Значения а, σ, α, β, δ даны.

а= 40;σ= 3;α= 34;β= 43;δ= 1,5.

Решение.

2. .

 

5. Исследовать систему  на совместность и решить ее, если она совместна.

Решение.

Составим определитель из коэффициентов уравнений:

, система совместна.

Проведём серию  линейных преобразований над строчками  расширенной матрицы: 

Полученная матрица  соответствует системе